Serie numerica - Carattere

[Stiletto]

Dobbiamo studiare il carattere della serie

$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n)cos(\pi/2 - 1/n)$

Riscriviamo la serie data come:

$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n)a_n$ Sostituzione: $a_n=cos(\pi/2 - 1/n)$

E’ una serie a segni alterni. Se analizziamo qualche termine della successione an, scopriamo che l’argomento del coseno è sempre positivo (o nullo) e varia tra $(\pi/2 – 1)$ e $(\pi/2)$. Per questi valori, il coseno è positivo.

$lim_(n->+oo)(a_n) -> lim_(n->+oo)(cos(\pi/2 - 1/n)=0$

Quindi la successione è convergente a 0, cosa che va ad affiancarsi al fatto di essere una successione sempre positiva (per n>1) e decrescente monotona.

Per il Criterio di Leibniz, le tre caratteristiche viste prima, ci assicurano che la serie data (a segni alterni) è convergente semplicemente.

Ora, vogliamo vedere se la serie converge assolutamente.

$\sum_{n=1}^oo |(((-1)^n)cos(\pi/2 - 1/n))|=\sum_{n=1}^oo |((-1)^n)||(cos(\pi/2 - 1/n))|=\sum_{n=1}^oo (1)(cos(\pi/2 - 1/n) )=\sum_{n=1}^oo (cos(\pi/2 - 1/n)$

Che equivale a studiare la convergenza della seguente serie:

$\sum_{n=1}^oo (cos(\pi/2 - 1/n))$

Usando le proprietà del calcolo trigonometrico, possiamo riscrivere il termine n-esimo della successione nel modo seguente:

$a_n=cos(\pi/2 - 1/n)=(cos(\pi/2)cos(1/n))-(sin(\pi/2)sin(1/n))$

Se ne calcoliamo il comportamento all’infinito:

$lim_(n->+oo)(cos(\pi/2)cos(1/n))-(sin(\pi/2)sin(1/n))=sin(1/n)=0$

Dal limite notevole $lim_(x->0)(sinx/x)=1$ prendiamo atto che che sinx è un infinitesimo dello stesso ordine (1) di x e che sostituendo $1/n=x$, possiamo optare per il confronto asintotico con la successione 1/n. Insomma, le serie sin(1/n) e 1/n hanno lo stesso carattere, e poiché la seconda è una serie armonica divergente, anche la serie dei valori assoluti lo è. Non c’è convergenza assoluta, quindi.

N.B. So che la convergenza assoluta implica quella semplice, ma ho preferito partire dalla verifica della convergenza semplice per esercitarmi un po’ sull’argomento. Ho commesso degli errori in genere?