Serie numerica alternata.Dubbio sul carattere
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio. Per favore controllate se non ho sbagliato qualcosa, perchè mi pare strana la conclusione finale. Grazie in anticipo
Determinare il carattere della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\frac{\ln (3^n)}{6}n^2}{\sqrt{n}} \)
l'ho svolta così
\(\displaystyle a_n=(-1)^n \frac{\frac{\ln (3^n)}{6}n^2}{\sqrt{n}}=(-1)^n\frac{\ln(3^n)}{6n^{-\frac{3}{2}}}=(-1)^n\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}\)
ora provo il criterio della convergenza assoluta
\(\displaystyle |a_n|=\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}=\frac{\ln 3}{6} n^{\frac{5}{2}}=+\infty \) per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \).... dico che NON converge assolutamente
Ora provo il criterio di Leibniz
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}=\frac{\ln 3}{6}\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{-\frac{5}{2}}}=\frac{\ln 3}{6}\lim_{n\rightarrow+\infty} n^{\frac{5}{2}}=+\infty \)
non è nemmeno verificata la prima ipotesi del criterio di Leibniz, cioè che il termine generale deve essere infinitesimo..
Concludo dicendo che il carattere di questa serie.. è sempre divergente!
A me sembra strano sto risultato sul carattere di una serie.. Forse ho sbagliato qualcosa?..Se c'è qualche errore scrivetelo pure!..
GRAZIE IN ANTICIPO!
Determinare il carattere della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{\frac{\ln (3^n)}{6}n^2}{\sqrt{n}} \)
l'ho svolta così
\(\displaystyle a_n=(-1)^n \frac{\frac{\ln (3^n)}{6}n^2}{\sqrt{n}}=(-1)^n\frac{\ln(3^n)}{6n^{-\frac{3}{2}}}=(-1)^n\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}\)
ora provo il criterio della convergenza assoluta
\(\displaystyle |a_n|=\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}=\frac{\ln 3}{6} n^{\frac{5}{2}}=+\infty \) per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \).... dico che NON converge assolutamente
Ora provo il criterio di Leibniz
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln 3}{6n^{-\frac{5}{2}}}=\frac{\ln 3}{6}\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{-\frac{5}{2}}}=\frac{\ln 3}{6}\lim_{n\rightarrow+\infty} n^{\frac{5}{2}}=+\infty \)
non è nemmeno verificata la prima ipotesi del criterio di Leibniz, cioè che il termine generale deve essere infinitesimo..
Concludo dicendo che il carattere di questa serie.. è sempre divergente!
A me sembra strano sto risultato sul carattere di una serie.. Forse ho sbagliato qualcosa?..Se c'è qualche errore scrivetelo pure!..
GRAZIE IN ANTICIPO!
Risposte
il termine generale della serie non è infinitesimo e quindi non può convergere
per cui è esatto quello che ho fatto.. che NON converge né assolutamente né semplicemente!..
grazie
grazie
Ciao!
Prova a capire se,posto $a_n=((ln(3^n))/6n^2)/sqrt(n)=n^(5/2)(ln3)/6,$la ${a_n}_(text{n}inNN)sube[0,+oo)$ è monotona:
magari sarà spunto per ricordare qualcosa sulle serie a termini di segno alterno nelle quali la ${a_n}_(text{n}inNN)$ gode d'un certo tipo di monotonia per la successione,
ed avrai conferma tanto che,come t'aspettavi e come d'altronde dev'essere per quanto detto da speedy,
la tua serie non converge semplicemente
(su quella assoluta hai ragione,ma non ti serve..),
quanto che ciò non basta affatto per dire che essa diverge
(potresti dirlo con certezza se fosse a termini definitivamente positivi,ma la tua non lo è..)!
Saluti dal web.
Prova a capire se,posto $a_n=((ln(3^n))/6n^2)/sqrt(n)=n^(5/2)(ln3)/6,$la ${a_n}_(text{n}inNN)sube[0,+oo)$ è monotona:
magari sarà spunto per ricordare qualcosa sulle serie a termini di segno alterno nelle quali la ${a_n}_(text{n}inNN)$ gode d'un certo tipo di monotonia per la successione,
ed avrai conferma tanto che,come t'aspettavi e come d'altronde dev'essere per quanto detto da speedy,
la tua serie non converge semplicemente
(su quella assoluta hai ragione,ma non ti serve..),
quanto che ciò non basta affatto per dire che essa diverge
(potresti dirlo con certezza se fosse a termini definitivamente positivi,ma la tua non lo è..)!
Saluti dal web.
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