Serie numerica al variare di un parametro

[fluspiral]

Salve a tutti,
potete dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio e se no come avrei dovuto farlo?
devo studiarla al variare di $k>0$

$\sum_{n=2}^infty (n^(k/2)+kn^3)/(n^2-1) (3^(2n))/(2^(kn)+7n^5)$
allora, è una serie a termini positivi per ogni $k>0$ e $\lim_{n \to \infty} a_n=0$

moltiplicando i numeratori e i denominatori scelgo gli infinit di ordine superiori e mi verrrà una nuova scuccessione $(3^(2n) n^(k/2))/(2^(kn)(n^2)$ asintotica a quella di partenza, adesso applico il criterio della radice e $((9/2^k)^n)^(1/n) (n^(k/2)/n^2)^(1/n)$ dove la seconda parentesi tende a $1$ , mentre nella prima $9/2^k$ ricavandomi il parametro $k$ ottengo che è una serie geometrica che converge solo se $k> log_2 (9)$

questo è il mprocedimento ma non so se è giusto

[pilloeffe]

Ciao emilianoo,

Vista l'ora, mi limiterò a qualche osservazione su ciò che hai scritto.

"emilianoo":$ lim_{n \to infty} a_n = 0$

Ciò è sicuramente falso, almeno per alcuni valori di $k$: ad esempio per $k = 0 $, $ k = 1 $, $ k = 2 $ e $k = 3 $ si ha $ lim_{n \to infty} a_n = +\infty $
Quanto al resto, per risolvere la serie proposta avrei fatto uso del criterio del rapporto.