Serie numerica
Buonasera a tutti/e,
sono alle prese con la dimostrazione della convergenza della serie seguente:
$\sum_{n=2}^oo (1)/(nlnn!) $
Ho provato ad usare il criterio di condensazione, cercando più precisamente di dimostrare la convergenza della serie $\sum_{n=2}^oo 2^na_(2^n)$ ma non riesco a venirne a capo.
Chiedo perciò un suggerimento per come operare.
A presto,
Giulia.
sono alle prese con la dimostrazione della convergenza della serie seguente:
$\sum_{n=2}^oo (1)/(nlnn!) $
Ho provato ad usare il criterio di condensazione, cercando più precisamente di dimostrare la convergenza della serie $\sum_{n=2}^oo 2^na_(2^n)$ ma non riesco a venirne a capo.
Chiedo perciò un suggerimento per come operare.
A presto,
Giulia.
Risposte
Buonasera
$\ln ((2^n)!)\geq \ln \(\prod_{j=1}^n 2^j\)=\sum_{j=1}^n j\ln 2=\frac{\ln 2}2 n(n+1)$.
$\ln ((2^n)!)\geq \ln \(\prod_{j=1}^n 2^j\)=\sum_{j=1}^n j\ln 2=\frac{\ln 2}2 n(n+1)$.
E come si giustifica l'ultima uguaglianza?
vuoi sapere perchè vale la seguente
Semplicemente, $ln2$ può essere portato fuori dalla sommatoria poichè non dipende da $j$.
Dunque abbiamo $ln2* sum_(j=1)^n j$
E saprai senza'altro che la somma dei primi $n$ numeri naturali dà $(n(n+1))/2$
"girdav":giusto?
$\sum_{j=1}^n j\ln 2=\frac{\ln 2}2 n(n+1)$.
Semplicemente, $ln2$ può essere portato fuori dalla sommatoria poichè non dipende da $j$.
Dunque abbiamo $ln2* sum_(j=1)^n j$
E saprai senza'altro che la somma dei primi $n$ numeri naturali dà $(n(n+1))/2$
Giusto!!!
Grazie mille girdav e Gi8!
Non voglio approfittare, per carità, ma nella serie seguente, di cui debbo sempre dimostrare la convergenza:
$\sum_{n=1}^oo [(sin(sin n)]^n$
io ho applicato il criterio della radice per liberarmi della potenza n-sima. Ma come risolvo il limite del seno di n che tende ad infinito se questa è una funzione limitata tra -1 e 1? Cioè, aldilà delle tecniche risolutive, non riesco a "vederlo".
Grazie mille girdav e Gi8!
Non voglio approfittare, per carità, ma nella serie seguente, di cui debbo sempre dimostrare la convergenza:
$\sum_{n=1}^oo [(sin(sin n)]^n$
io ho applicato il criterio della radice per liberarmi della potenza n-sima. Ma come risolvo il limite del seno di n che tende ad infinito se questa è una funzione limitata tra -1 e 1? Cioè, aldilà delle tecniche risolutive, non riesco a "vederlo".
Perché queste serie mi sembrano tanto familiari? 
In ogni caso, alla seconda seri il criterio della radice non si può applicare, visto che i suoi segni variano in modo non ben definito.
In ogni caso, alla seconda seri il criterio della radice non si può applicare, visto che i suoi segni variano in modo non ben definito.
Ah, giusto 
$|\sin\sin n|\leq |\sin 1|$ e si può comparare con una serie geometrica.
"laska":
sono alle prese con la dimostrazione della convergenza della serie seguente:
$\sum_{n=2}^oo (1)/(nlnn!) $
Ricordando l'approssimazione di Stirling in forma logaritmica:
\[
\ln n!\approx n(\ln n- 1) +\text{O}(\ln n)
\]
si ottiene:
\[
\frac{1}{n\ \ln n!}\approx \frac{1}{n^2(\ln n -1)+\text{O}(\ln n)} = \frac{1}{n^2}\ \frac{1}{\ln n-1 +\text{o}(n)}
\]
sicché la serie assegnata converge per confronto asintotico.
Purtroppo non mi è "permesso" usare l'approssimazione di Stirling dato che non è stata affrontata nel corso di Analisi I che ho seguito 
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