Serie Numerica

[michealorion]

studiare il carattere della serie

$sum_(n = 1)^(n = oo) ln(1+x^(2n))$

allora è chiaramente una serie a termini positivi e dobbiamo distinguere diversi casi:

se $x=+- 1$ la serie diverge perchè abbiamo una somma infinita di $ln2$

se $x>1$ e $x<1 $
possiamo fare cosi $ln(1+x^(2n)) ~ ln(x^(2n)) = 2nln(x)$ portiamo fuori le costanti $2ln(x)sum_(n = 1)^(n = oo) n$
e diverge.

per $x=0$ converge

mi manca questi intervalli $-1
le cose che ho scritto prima vanno bene??

[_prime_number]

Come giustifichi il passaggio
[tex]\log (1+x^{2n})\log(x^{2n})=2n \log x[/tex]?!


Paola

[michealorion]

per $n->oo$

$log(1+x^(2n))$ si comporta come $ln(x^(2n))$ e posso studiare questa serie
poi dopo ho usato la propietà del logaritmo $ln(x^k)=kln(x)$

[_prime_number]

Ti faccio notare che [tex]-1 < x<1\to 0< x^2 <1[/tex] quindi quel comportamento asintotico è falso.

Paola

[michealorion]

ma io quel comportamento asintotico l'ho isolato al caso $x>1$ e $x<1$