Serie numerica

[mistake89]

Scusate se torno a chiedere ancora delle serie, ma ogni tanto c'è qualcuna che non vuole saperne di convergere

Consideriamo la serie $sum (lognx)/(1+n^2x^2)$ con $x in RR$. Purtroppo non riesco a studiarne il comportamento nè con il criterio del rapporto che con quello della radice. Ovviamente ho considerato la serie a termini positivi $sum (logn|x|)/(1+n^2x^2)$

Siano invece ora $x, alpha in RR$ e considero la serie $sum n^alpha x^(sqrt(n))$ con $x >=0$.
Se $x>=1$ la serie non converge per nessun alpha.

Se $0=0$ non riesco a dimostrare la convergenza. Anzi...

Infatti se faccio $lim_n (n^alpha x^(sqrt(n))/(n^(alpha))=1$ ed essendo $n^alpha$ divergente...

Dove sbaglio?

[gugo82]

Guarda che quella serie non è a termini positivi...
Ad esempio, se $x=10^{-10}$ la serie ha i primi $10^{10}$ termini non positivi.

[mistake89]

Hai ragione Gugo, non ci avevo pensato. Ma purtroppo non riesco comunque a verificarne la convergenza.

[mistake89]

Credo che la prima serie converga per ogni $x>0$, essendo questo il dominio del logaritmo, ma purtroppo non riesco a mostrarlo per bene.

[mistake89]

Piccolo UP!

[dissonance]

Prova a confrontare la prima con $sum \frac{(nx)^{1/2}}{1+n^2 x^2}$.

[mistake89]

La serie che mi proponi dissonance risulta convergente...
Inoltre $lim_n a_n/b_n=0$ quindi la serie converge assolutamente (e quindi converge!)... quindi in definitiva la serie converge $AA x >0$.
Giusto?

Grazie

[dissonance]

Va bene, però ricordati di osservare esplicitamente che la serie data è definitivamente a termini positivi. Ricordati che i criteri di confronto non funzionano se i termini della serie cambiano segno.

[mistake89]

Sisi certo, hai ragione

Grazie Dissonance.

[dissonance]

Anche per la seconda serie puoi fare un discorso di confronto asintotico. Quando il termine generale è infinitesimo, infatti, è un infinitesimo di ordine più o meno esponenziale, quindi non dovresti avere problemi a trovare una serie convergente di tipo $sum 1/(n^p)$ con cui confrontare. Che poi è ciò che hai fatto nel primo post, ma sbagli a calcolare il limite.

[mistake89]

Hai ragione ho commesso un errore stupido nel calcolare il limite...

Ricapitolo così sarò più chiaro. Se $x>0$ la mia serie è a termini positivi, pertanto sfrutto il teorema del confronto.
Fisso $alpha>0$ e $0 Considero la serie $1/n^alpha$, $alpha>1$ che è naturalmente convergente e calcolo $lim_n (n^alpha x^sqrt(n))/(1/n^alpha)=0$. Per il teorema del confronto citato in precedenza la serie $n^alpha x^sqrt(n)$ converge anch'essa.

[dissonance]

Si è giusto, però sei andato a prendere lo stesso simbolo $alpha$ sia per il parametro sia per l'esponente di $1/(n^\alpha)$! Con tanti simboli, giusto quello dovevi usare?

[mistake89]

Hai ragione Spero di non sbagliarlo martedì