Serie numerica
Determinare il carattere della serie
$sum_(n=0)^infty (-1)^n*(cos^3n)/(n^2+2n-3)$
per determinare il carettere della serie uso il criterio di Leibniz e quindi il termine $a_n=(cos^3n)/(n^2+2n-3)$ deve tendere a $0$ ed essere decrescente.
Ora ho difficoltà a risolvere il limite $lim_(n->infty) a_n$
Qualcuno puo suggerirmi qualcosa ?
$sum_(n=0)^infty (-1)^n*(cos^3n)/(n^2+2n-3)$
per determinare il carettere della serie uso il criterio di Leibniz e quindi il termine $a_n=(cos^3n)/(n^2+2n-3)$ deve tendere a $0$ ed essere decrescente.
Ora ho difficoltà a risolvere il limite $lim_(n->infty) a_n$
Qualcuno puo suggerirmi qualcosa ?
Risposte
Ricorda che il coseno è limitato!
il limite è chiaramente $0$: il numeratore è un numero compreso tra $-1$ e $1$, mentre il denominatore tende a $+oo$
Quindi siccome $cos^3n$ è comunque limitato e invece il demoninatore aumenta esponenzialmente
posso affermare che $a_n$ è decrescente e quindi che la serie converge ?
posso affermare che $a_n$ è decrescente e quindi che la serie converge ?
Puoi dire che $n^2+2n-1$ è crescente (fra $0$ e $oo$), e quindi il suo inverso decresce.
"faximusy":
Puoi dire che $n^2+2n-1$ è crescente (fra $0$ e $oo$), e quindi il suo inverso decresce.
e quindi ?..... la serie converge ?
E quindi una delle condizioni per la convergenza è soddisfatta.
Hai verificato che $a_(n+1) < a_n$ ?
Hai verificato che $a_(n+1) < a_n$ ?
"Josephine":
[quote="faximusy"]Puoi dire che $n^2+2n-1$ è crescente (fra $0$ e $oo$), e quindi il suo inverso decresce.
e quindi ?..... la serie converge ?[/quote]
Essendo infinitesima e decrescente, per Leibniz, converge
Ricorda che hai considerato la serie $1/(n^2+2n-3)$ asintotica alla serie di partenza, quindi il discorso per una, vale per l'altra.
Ora però prova anche a dimostrare se sia assolutamente convergente.
asintotica? Scusa ma com'è possibile che $ (-1)^n cosn^3 \approx 1$, quando il limite all'infinito del coseno nemmeno esiste ?
$sum 1/(n^2 + 2n - 3)$ al più è una maggiorante della serie di partenza, e non è la stessa cosa... in particolare non vale il viceversa: se una minorante converge non puoi dire che la serie di partenza converge, in generale non è vero.
Comunque si, considerando la maggiorante ti risparmi la necessità di provare la decrescenza, ma se avessi voluto usare Leibniz, la sola convergenza della $a_n$ non ti sarebbe bastata.
$sum 1/(n^2 + 2n - 3)$ al più è una maggiorante della serie di partenza, e non è la stessa cosa... in particolare non vale il viceversa: se una minorante converge non puoi dire che la serie di partenza converge, in generale non è vero.
Comunque si, considerando la maggiorante ti risparmi la necessità di provare la decrescenza, ma se avessi voluto usare Leibniz, la sola convergenza della $a_n$ non ti sarebbe bastata.
"pater46":
asintotica? Scusa ma com'è possibile che $ (-1)^n cosn^3 \approx 1$, quando il limite all'infinito del coseno nemmeno esiste ?
$sum 1/(n^2 + 2n - 3)$ al più è una maggiorante della serie di partenza, e non è la stessa cosa... in particolare non vale il viceversa: se una minorante converge non puoi dire che la serie di partenza converge, in generale non è vero.
Comunque si, considerando la maggiorante ti risparmi la necessità di provare la decrescenza, ma se avessi voluto usare Leibniz, la sola convergenza della $a_n$ non ti sarebbe bastata.
Quindi posso affermare che la serie di partenza converge semplicemente considerando la serie maggiorante $sum1/(n^2+2n-3)$ che di per se converge.
Il tutto senza applicare Leibniz
Esatto?
Esattamente ( anche se la maggiorante non è quella che hai postato tu, ma l'inversa ). Sei stata fortunata con questa serie, spesso non è facile trovare maggioranti.
PS: tecnicamente è come dice faximusy, cioè quella è una maggiorante della serie dei valori assoluti. Quindi... avendo provato che tale serie dei valori assoluti è convergente, hai provato che la serie di partenza è assolutamente convergente, quindi in definitiva puoi dire che converge.
PS: tecnicamente è come dice faximusy, cioè quella è una maggiorante della serie dei valori assoluti. Quindi... avendo provato che tale serie dei valori assoluti è convergente, hai provato che la serie di partenza è assolutamente convergente, quindi in definitiva puoi dire che converge.
"pater46":
Esattamente ( anche se la maggiorante non è quella che hai postato tu, ma l'inversa ). Sei stata fortunata con questa serie, spesso non è facile trovare maggioranti.
Si hai ragione avevo commesso un errore di scrittura.
Ok Grazie mille
Piccola domanda, scusate l'intromissione:
Ma visto che per Leibiniz (o come si scrive) $\sum (-1)^n\ \frac{1}{n^2+2n-3}$ è convergente e che $(-1)^n\ \frac{(\cos n)^3}{n^2+2n-3}\le \frac{1}{n^2+2n-3}(-1)^n$ non possiamo dire che la serie data è convergente (anche non assolutamente) ?
Ma visto che per Leibiniz (o come si scrive) $\sum (-1)^n\ \frac{1}{n^2+2n-3}$ è convergente e che $(-1)^n\ \frac{(\cos n)^3}{n^2+2n-3}\le \frac{1}{n^2+2n-3}(-1)^n$ non possiamo dire che la serie data è convergente (anche non assolutamente) ?
Si, anche così si ottiene lo stesso risultato. la serie che hai postato tu è una maggiorante convergente, quindi il ragionamento dovrebbe filare lo stesso. Di solito per risolvere queste serie a segni alterni si ricorre a:
Maggiorazioni
Considerazioni sulla serie dei valori assoluti
Applicazione del criterio di Leibniz
L'unica cosa è che Leibniz a quanto ne so io è valido solo per le serie a segno alterno, mentre gli altri due metodi valgono per serie di segno qualsiasi.
Maggiorazioni
Considerazioni sulla serie dei valori assoluti
Applicazione del criterio di Leibniz
L'unica cosa è che Leibniz a quanto ne so io è valido solo per le serie a segno alterno, mentre gli altri due metodi valgono per serie di segno qualsiasi.
"pater46":
asintotica? Scusa ma com'è possibile che $ (-1)^n cosn^3 \approx 1$, quando il limite all'infinito del coseno nemmeno esiste ?
$sum 1/(n^2 + 2n - 3)$ al più è una maggiorante della serie di partenza, e non è la stessa cosa... in particolare non vale il viceversa: se una minorante converge non puoi dire che la serie di partenza converge, in generale non è vero.
Comunque si, considerando la maggiorante ti risparmi la necessità di provare la decrescenza, ma se avessi voluto usare Leibniz, la sola convergenza della $a_n$ non ti sarebbe bastata.
Si, infatti è una maggiorazione
pardon.riguardo l'assoluta convergenza, la si può dimostrare per confronto con $1/n^2$, quindi concludere subito con la convergenza della serie in esame
si scusa, comunque è un'errore facile da notare e non volevo dubitare del fatto che sapessi certe cose 
Ho scritto quel post non tanto per farlo notare a te ( che certamente ne sai di queste cose e te ne saresti accorto facilmente ), quanto per evitare di far confondere altri su cosa effettivamente avevi fatto.
Ho scritto quel post non tanto per farlo notare a te ( che certamente ne sai di queste cose e te ne saresti accorto facilmente ), quanto per evitare di far confondere altri su cosa effettivamente avevi fatto.
"pater46":
si scusa, comunque è un'errore facile da notare e non volevo dubitare del fatto che sapessi certe cose
Ho scritto quel post non tanto per farlo notare a te ( che certamente ne sai di queste cose e te ne saresti accorto facilmente ), quanto per evitare di far confondere altri su cosa effettivamente avevi fatto.
No, ma figurati! Fai benissimo a farli sempre notare
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