Serie Numerica

[giuppyru-votailprof]

$sum_{n=1}^\infty1/(n*(n+1)*(n+2))$

Devo calcolare la somma della serie, qualcuno può spiegarmi i passaggi da effettuare?

Grazie

[Lorin1]

prova ad utilizzare la decomposizione in fratti semplici come primo passaggio da fare....

[salvozungri]

Suggerisco, prima di scomporre in fratti semplici, di sommare e sottrarre al numeratore $n$ così che la serie di partenza possa ricondursi a
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1-n}{n(n+1)(n+2)}= \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n (n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=[/tex]
[tex]=_{(1.1)}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n (n+2)}-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/tex]

Importante: L'uguaglianza [tex](1.1)[/tex] è assicurata dal fatto che [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n (n+2)}[/tex] e [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/tex] sono serie convergenti.

[gugo82]

Forse è meglio iniziare così:

[tex]$\sum \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \ \sum \frac{2}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2} \ \sum \frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)} =\ldots$[/tex]

etcetera.


P.S.: Per risolvere l'esercizio devi saper calcolare la somma di una serie telescopica.

[salvozungri]

"gugo82":Forse è meglio iniziare così:[...]

A voglia se è meglio iniziare così . Tra l'altro col metodo di gugo si evita di utilizzare la decomposizione in fratti semplici! Grande gugo!