Serie numerica
Salve ragazzi.
Sono alle prese con le serie numeriche. Vediamo se mi sono impratichito...
Devo studiare il carattere della seguente serie:
sommatoria che va da 1 a 00 di (1+1/k+1/k^2)x^k ove x>0
Adesso applicando il Criterio del rapporto (o criterio D'Alembert) si
trova:
per x<1 la serie è convergente
per x>1 la serie è divergente
ma se x=1 si riscrive la serie in questo modo:
sommatoria con k che va da 1 a 00 di 1+1/k+1/k^2
si riscrive il termine generico della serie come:
k^2+k+1 tutto fratto k^2
adesso per dimostrare che la serie è divergente posso utilizzare due criteri:
1)Condizione necessaria ma non sufficiente affinchè una serie sia convergente è che il suo termine generico converga a 0 per lim per k che tende a 00.
2)Applicando il teorema del confronto si trova:
1/k^2<(k^2+k+1)/k^2
adesso la serie 1/k^2 rappresenta una minorazione della (k^2+k+1)/k^2
la serie al primo membro è una serie armonica e alfa >1 dunque divergente e per il criterio del confronto si ha che se la prima serie è divergente lo è pure la seconda.
Fatemi sapere^_^
Ciao a tutti
Sono alle prese con le serie numeriche. Vediamo se mi sono impratichito...
Devo studiare il carattere della seguente serie:
sommatoria che va da 1 a 00 di (1+1/k+1/k^2)x^k ove x>0
Adesso applicando il Criterio del rapporto (o criterio D'Alembert) si
trova:
per x<1 la serie è convergente
per x>1 la serie è divergente
ma se x=1 si riscrive la serie in questo modo:
sommatoria con k che va da 1 a 00 di 1+1/k+1/k^2
si riscrive il termine generico della serie come:
k^2+k+1 tutto fratto k^2
adesso per dimostrare che la serie è divergente posso utilizzare due criteri:
1)Condizione necessaria ma non sufficiente affinchè una serie sia convergente è che il suo termine generico converga a 0 per lim per k che tende a 00.
2)Applicando il teorema del confronto si trova:
1/k^2<(k^2+k+1)/k^2
adesso la serie 1/k^2 rappresenta una minorazione della (k^2+k+1)/k^2
la serie al primo membro è una serie armonica e alfa >1 dunque divergente e per il criterio del confronto si ha che se la prima serie è divergente lo è pure la seconda.
Fatemi sapere^_^
Ciao a tutti
Risposte
La serie armonica generalizzata con alfa>1,in
realta',converge.Tuttavia essendo:
1+1/k+1/k^2>1/k ,la tua conclusione e' esatta
perche la serie armonica semplice (cioe' con
alfa=1) e' effettivamente divergente.
karl.
realta',converge.Tuttavia essendo:
1+1/k+1/k^2>1/k ,la tua conclusione e' esatta
perche la serie armonica semplice (cioe' con
alfa=1) e' effettivamente divergente.
karl.
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