Serie numerica #2
Ciao a tuuti! Ho incontrato un'altra serie che mi sta dando problemi... Devo capire se la serie converge o diverge:
$ sum_(n=1)^(+oo ) (1-1/n)^(n^2) $
Io ho considerato che il termine generale sia uguale a $ (1/(1+1/n))^(n^2) $ cioè $ 1/((1+1/n)^(n^2)) $ poi ho elevato numeratore e denominatore alla $ 1/n^2 $ da cui ottengo
$ 1/(1+1/n) $ ma poi che faccio? Voi avete qualche idea?
$ sum_(n=1)^(+oo ) (1-1/n)^(n^2) $
Io ho considerato che il termine generale sia uguale a $ (1/(1+1/n))^(n^2) $ cioè $ 1/((1+1/n)^(n^2)) $ poi ho elevato numeratore e denominatore alla $ 1/n^2 $ da cui ottengo
$ 1/(1+1/n) $ ma poi che faccio? Voi avete qualche idea?
Risposte
Ciao, ci sono diversi errori.
1. \( 1-\frac{1}{n} \ne \frac{1}{1+1/n} \)
2. Non è che se hai una frazione e elevi numeratore e denominatore allo stesso numero ottieni una frazione equivalente, cioè in generale
\[ \frac{a}{b} \ne \frac{a^x}{b^x} \]
Per esempio mica vale che \( 1/2 = 1^2 /2^2 = 1/4 \) !
Per la tua serie prova con il confronto asintotico!
1. \( 1-\frac{1}{n} \ne \frac{1}{1+1/n} \)
2. Non è che se hai una frazione e elevi numeratore e denominatore allo stesso numero ottieni una frazione equivalente, cioè in generale
\[ \frac{a}{b} \ne \frac{a^x}{b^x} \]
Per esempio mica vale che \( 1/2 = 1^2 /2^2 = 1/4 \) !
Per la tua serie prova con il confronto asintotico!
Ho capito!
Per quanto riguarda il confronto il problema è che non riesco a trovare una serie con cui confrontarla D:
Per quanto riguarda il confronto il problema è che non riesco a trovare una serie con cui confrontarla D:
Così a vista d'occhio, mi viene da suggerire il criterio della radice.. prova!
poi mi pare che dopo il criterio della radice, quel limite converge ad numero $e$ .. (o che almeno lo richiama)
poi mi pare che dopo il criterio della radice, quel limite converge ad numero $e$ .. (o che almeno lo richiama)
Con il criterio della radice ti viene un \(\displaystyle \alpha =\frac{1}{e}<1 \).
Ciao FinixFighter,
Decisamente il criterio della radice è il più rapido:
$ lim_{n \to +\infty} root[n]{(1 - 1/n)^{n^2}} = lim_{n \to +\infty} (1 + frac{-1}{n})^{n} = e^{- 1} < 1 $
Pertanto la serie proposta converge.
Decisamente il criterio della radice è il più rapido:
$ lim_{n \to +\infty} root[n]{(1 - 1/n)^{n^2}} = lim_{n \to +\infty} (1 + frac{-1}{n})^{n} = e^{- 1} < 1 $
Pertanto la serie proposta converge.
Grazie mille ragazzi! Siete stati molto gentili ^^ Sto studiando le serie numeriche e sto facendo un sacco di esercizi, per cui è probabile che in futuro ne posterò altri XD A presto 
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