Serie numerica
Salve,mi dareste una mano sullo svolgimento di questa serie? Dovrebbe essere una serie geometrica,è il primo esercizio in cui incontro una serie geometrica e non so proseguire.. Avevo pensato di usare il criterio del rapporto..ma poi? Grazie in anticipo.
$ sum_(n =1 \ldots) (2n-1)/(sqrt x^(n)) $
$ sum_(n =1 \ldots) (2n-1)/(sqrt x^(n)) $
Risposte
immagino tu debba studiare la convergenza al variare di $x > 0$.
io userei l'asintoticità a $n/(sqrtx)^n$ ed a questa applicherei il criterio della radice.
io userei l'asintoticità a $n/(sqrtx)^n$ ed a questa applicherei il criterio della radice.
La n al denominatore è l'esponente della x
intendi quindi $sqrt(x^n)$? se si sono due scritture equivalenti per le proprietà delle potenze
Alla fine del criterio della radice ho
$ lim_(n -> oo ) n^(1/n)/x^(1/2) $
mi aiuti nella discussione? Oppure ho mancato qualcosa?
$ lim_(n -> oo ) n^(1/n)/x^(1/2) $
mi aiuti nella discussione? Oppure ho mancato qualcosa?
quel limite viene $1/sqrtx$. cosa dice il criterio della radice? converge quando? e quindi cosa puoi dedurne?
Scusami ma la stanchezza dopo un po' si fa sentire.. Comunque tutto risolto,grazie mille,sei stato gentilissimo!
di nulla 
Ciao krauser\.
Stavo riflettendo sul fatto che della serie proposta è possibile anche calcolarne la somma (ovviamente quando converge).
Infatti, posto per comodità $t := 1/sqrt{x} $, per $|t | < 1$, cioè per $x > 1$, si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (2n-1)/(sqrt x^(n)) = sum_{n = 1}^{+\infty} 2n t^n - sum_{n = 1}^{+\infty} t^n = 2 sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) = frac{2t}{(1 - t)^2} - (frac{1}{1 - t} - 1) = $
$ = frac{2t}{(1 - t)^2} - frac{t}{1 - t} = frac{2t - t(1 - t)}{(1 - t)^2} = frac{t^2 + t}{(1 - t)^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{(1 - 1/sqrt{x})^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{frac{(sqrt{x} - 1)^2}{x}} = frac{sqrt{x} + 1}{(sqrt{x} - 1)^2} $
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n-1}{\sqrt x^{n}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \qquad \qquad x > 1 \qquad}
\end{equation}[/tex]
Stavo riflettendo sul fatto che della serie proposta è possibile anche calcolarne la somma (ovviamente quando converge).
Infatti, posto per comodità $t := 1/sqrt{x} $, per $|t | < 1$, cioè per $x > 1$, si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (2n-1)/(sqrt x^(n)) = sum_{n = 1}^{+\infty} 2n t^n - sum_{n = 1}^{+\infty} t^n = 2 sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) = frac{2t}{(1 - t)^2} - (frac{1}{1 - t} - 1) = $
$ = frac{2t}{(1 - t)^2} - frac{t}{1 - t} = frac{2t - t(1 - t)}{(1 - t)^2} = frac{t^2 + t}{(1 - t)^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{(1 - 1/sqrt{x})^2} = frac{1/x + 1/sqrt{x}}{frac{(sqrt{x} - 1)^2}{x}} = frac{sqrt{x} + 1}{(sqrt{x} - 1)^2} $
In definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n-1}{\sqrt x^{n}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \qquad \qquad x > 1 \qquad}
\end{equation}[/tex]
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