Serie numerica
Ciao a tutti.
Presento questo esercizio sulla convergenza della seguente serie.
$sum (-1)^n log(3 - sqrt((4n^4)/(2+n^4)))$, con n da 1 a infinito.
Io ho cominciato a studiare la convergenza assoluta.
Noto che la serie modulo è infinitesima. Infatti il limite, per n che tende a infinito è zero.
Solo che non riesco a trovare la convergenza della serie modulo e quindi a concludere se è o non è convergente assolutamente.
Altrimenti dovrei usare Leibniz.
Potete darmi una mano con la convergenza assoluta?
Presento questo esercizio sulla convergenza della seguente serie.
$sum (-1)^n log(3 - sqrt((4n^4)/(2+n^4)))$, con n da 1 a infinito.
Io ho cominciato a studiare la convergenza assoluta.
Noto che la serie modulo è infinitesima. Infatti il limite, per n che tende a infinito è zero.
Solo che non riesco a trovare la convergenza della serie modulo e quindi a concludere se è o non è convergente assolutamente.
Altrimenti dovrei usare Leibniz.
Potete darmi una mano con la convergenza assoluta?
Risposte
raccolgo una $n^4$ a denominatore che si semplifica con quella a numeratore e mi porto ad avere:
$log(3-2(1+2/n^4)^(-1/2))= ...$
te l'ho scritta così per renderti più chiaro il passaggio successivo.
$log(3-2(1+2/n^4)^(-1/2))= ...$
te l'ho scritta così per renderti più chiaro il passaggio successivo.
potrei usare le proprietà del log, ossia
$log(3) / log(2(1+2(n^4))^(-1/2))$, e poi (e credo di esser caduto in errore),
uso il confronto asintotico per dire $log(2(1+2(n^4))^(-1/2))$ è asintoticamente uguale a $sqrt(2) / n^2$, per n che tende ad infinit.
e pertanto converge.
$log(3) / log(2(1+2(n^4))^(-1/2))$, e poi (e credo di esser caduto in errore),
uso il confronto asintotico per dire $log(2(1+2(n^4))^(-1/2))$ è asintoticamente uguale a $sqrt(2) / n^2$, per n che tende ad infinit.
e pertanto converge.
dal mio passaggio applica lo sviluppo di Mc Laurin di $(1+epsilon_n)^(alpha)$ con $epsilon_n ->0$
a quel punto svolgi i prodotti, semplifica quello che puoi e poi dovresti riuscire a poter concludere.
a quel punto svolgi i prodotti, semplifica quello che puoi e poi dovresti riuscire a poter concludere.
osservo che $2/n^4$ è infinitesimo.
Pertanto tende a $log(2)$?
Pertanto tende a $log(2)$?
$ log(3-2(1+2/n^4)^(-1/2))=log(3-2(1-1/n^4))=log(3-2+2/n^4)=log(1+2/n^4) ~~ 2/n^4 $
da questo cosa puoi concludere sulla serie di partenza?
P.S. ti consiglio di imparare a riconoscere sviluppi di Taylor e limiti notevoli (e sapere come applicarli) perchè nelle serie servono spesso.
da questo cosa puoi concludere sulla serie di partenza?
P.S. ti consiglio di imparare a riconoscere sviluppi di Taylor e limiti notevoli (e sapere come applicarli) perchè nelle serie servono spesso.
si conclude che converge.
Ti ringrazio. Infatti è proprio il criterio del confronto asintotico che mi sta dando un pò di filo da torcere.
Ti ringrazio. Infatti è proprio il criterio del confronto asintotico che mi sta dando un pò di filo da torcere.
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