Serie numerica

[sajhoiseddse]

Ciao a tutti, ho appena iniziato lo studio delle serie e sono dubbioso su questo svolgimento.

$sum_{n=1}^infty (sinn)/(log^2(1 + 3^(n-1)))$

Ho verificato la condizione di Cauchy e che si tratta di una serie a termini positivi.
Quel seno al denominatore mi ha fatto subito venire in mente la maggiorazione con $b_n = 1/(log^2(1+3^(n-1))$.
Applicando le proprietà dei logaritmi ho:

$1/(log^2(1)(n-1)log^2(3)) ~ 1/n(log^2(1)log^2(3))$

Qui però mi blocco. Come continuo?

[Berationalgetreal]

Quindi hai applicato la proprietà per cui:

\[ \log_n (a + b) = \log_n (a) \log_n (b) \]

che hai appena scoperto tu, ma che fino a poco fa nessuno aveva mai scoperto?

[A parte scherzi. E' sbagliatissima ]

Tra l'altro, la serie non è a termini positivi. Prova con \( a_5 \).

[sajhoiseddse]

Ops, ho fatto confusione dunque cosa faccio, studio la convergenza assoluta?

[Berationalgetreal]

Eh sì. Questa serie converge assolutamente:

\[ 0 \leq \sum_{n = 1}^{+\infty} \left | \frac{\sin n}{\ln^2 \left ( 1 + 3^{n-1}\right )} \right | \leq \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{\ln^2 \left ( 1 + 3^{n-1}\right )} \sim \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{\ln^2 \left (3^{n}\right )} =\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 \ln^2 (3)} < +\infty \]

Visto che converge assolutamente, la serie converge anche semplicemente.

[sajhoiseddse]

Più imparo cose nuove più dimentico quelle vecchie grazie mille!