Serie numerica
Ciao a tutti, devo calcolare il carattere di questa serie
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n-2}{n+3})^n\)
Non è regolare, dato che per $n=1 \rightarrow -1/4$, però ho pensato di scomporla così:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n-2}{n+3})^n=1-1/4+\sum_{n=2}^{\infty} (\frac{n-2}{n+3})^n\), potendo utilizzare i criteri che ho studiato. Per prima cosa vado a calcolare il limite del termine generale:
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\frac{n-2}{n+3})^n=e^{-5} \), quindi diverso da 0. Ho calcolato il limite riscrivendo $a_n$ come \(\displaystyle e^{ln{(\frac{n-2}{n+3})^n}} \).
Dato che la serie adesso è regolare, so che diverge o converge, ed essendo \(\displaystyle lim_{n\to \infty} a_n\neq 0 \) divergerà sicuramente. Posso quindi dire che la mia serie di partenza diverge anche? Grazie anticipatamente
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n-2}{n+3})^n\)
Non è regolare, dato che per $n=1 \rightarrow -1/4$, però ho pensato di scomporla così:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n-2}{n+3})^n=1-1/4+\sum_{n=2}^{\infty} (\frac{n-2}{n+3})^n\), potendo utilizzare i criteri che ho studiato. Per prima cosa vado a calcolare il limite del termine generale:
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\frac{n-2}{n+3})^n=e^{-5} \), quindi diverso da 0. Ho calcolato il limite riscrivendo $a_n$ come \(\displaystyle e^{ln{(\frac{n-2}{n+3})^n}} \).
Dato che la serie adesso è regolare, so che diverge o converge, ed essendo \(\displaystyle lim_{n\to \infty} a_n\neq 0 \) divergerà sicuramente. Posso quindi dire che la mia serie di partenza diverge anche? Grazie anticipatamente
Risposte
il criterio di Cauchy del termine infinitesimo è valido per qualunque serie non solo quelle regolari, quindi le scomposizioni che hai fatto sono superflue, la serie diverge perché il termine generale non è infinitesimo.
"Bossmer":
il criterio di Cauchy del termine infinitesimo è valido per qualunque serie non solo quelle regolari, quindi le scomposizioni che hai fatto sono superflue, la serie diverge perché il termine generale non è infinitesimo.
Ma non si può affermare con certezza che diverga se non è regolare..sbaglio?
Scusa ora ho capito, Il tuo cruccio è stabilire se è irregolare oppure se diverge.
Beh per stabilire questo era sufficiente notare che la serie è definitivamente a termini positivi, dunque se preferisci è definitivamente regolare, e per le serie definitivamente regolari valgono tutti i teoremi delle serie regolari.
o più in generale i primi $k$ termini con $k$ finito non alterano il carattere della serie (questo sarebbe il teorema).
Beh per stabilire questo era sufficiente notare che la serie è definitivamente a termini positivi, dunque se preferisci è definitivamente regolare, e per le serie definitivamente regolari valgono tutti i teoremi delle serie regolari.
o più in generale i primi $k$ termini con $k$ finito non alterano il carattere della serie (questo sarebbe il teorema).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo