Serie numerica
Mi aiutate a perfezionare il ragionamento per studiare il carattere di questa serie?
$sum_(n =1 \ldots) (n^(3/2)*(e^(3/n)-1))/(log(2^n+5)) $
Innanzitutto ho notato che è una serie a termini positivi, o converge a un numero positivo o diverge positivamente.
Non riuscendo a semplificare l'espressione ho ragionato che la funzione logaritmo è sicuramente più piccola dell'esponenziale ed essendo quest'ultimo al numeratore sarà lui a determinare il carattere della serie e quindi la serie diverge positivamente. La mia risposta è giusta ma non sono totalmente certo del ragionamento, cioè sono andato un po' "a ragionamento" ma vorrei una spiegazione più analitica.
$sum_(n =1 \ldots) (n^(3/2)*(e^(3/n)-1))/(log(2^n+5)) $
Innanzitutto ho notato che è una serie a termini positivi, o converge a un numero positivo o diverge positivamente.
Non riuscendo a semplificare l'espressione ho ragionato che la funzione logaritmo è sicuramente più piccola dell'esponenziale ed essendo quest'ultimo al numeratore sarà lui a determinare il carattere della serie e quindi la serie diverge positivamente. La mia risposta è giusta ma non sono totalmente certo del ragionamento, cioè sono andato un po' "a ragionamento" ma vorrei una spiegazione più analitica.
Risposte
Notiamo che
\[ \frac{n^{\frac{3}{2}} \cdot \left (e^{\frac{3}{n}} - 1 \right ) } {\ln \left ( 2^n +5 \right )} = \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n \left ( \ln 2 + \frac{\ln \left (1 + \frac{5}{2^n} \right )}{n} \right )} \cdot \left ( \frac{e^{\frac{3}{n}} - 1}{\frac{3}{n}} \right ) \cdot \frac{3}{n} = \\
= \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{3}{\left ( \ln 2 + \frac{\ln \left (1 + \frac{5}{2^n} \right )}{n} \right )} \cdot \left ( \frac{e^{\frac{3}{n}} - 1}{\frac{3}{n}} \right ) \to 0, \ n \to + \infty \]
Quindi la tua stima non è corretta; il termine generico è infinitesimo. Tuttavia, sulla base di quanto abbiamo notato, la tua serie è divergente per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica di grado $ \frac{1}{2} < 1$. Infatti:
\[ \lim_{ n \to + \infty} {\frac{\cancel{ \frac{1}{\sqrt{n}}} \cdot \frac{3}{\left ( \ln 2 + \frac{\ln \left (1 + \frac{5}{2^n} \right )}{n} \right )} \cdot \left ( \frac{e^{\frac{3}{n}} - 1}{\frac{3}{n}} \right )}{\cancel{\frac{1}{\sqrt{n}}}}} = \frac{3}{\ln 2} \in (0,+ \infty) \]
quindi la serie ha lo stesso comportamento della serie armonica di grado $\frac{1}{2}$.
E' sempre meglio evitare di andare "a ragionamento"
\[ \frac{n^{\frac{3}{2}} \cdot \left (e^{\frac{3}{n}} - 1 \right ) } {\ln \left ( 2^n +5 \right )} = \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n \left ( \ln 2 + \frac{\ln \left (1 + \frac{5}{2^n} \right )}{n} \right )} \cdot \left ( \frac{e^{\frac{3}{n}} - 1}{\frac{3}{n}} \right ) \cdot \frac{3}{n} = \\
= \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{3}{\left ( \ln 2 + \frac{\ln \left (1 + \frac{5}{2^n} \right )}{n} \right )} \cdot \left ( \frac{e^{\frac{3}{n}} - 1}{\frac{3}{n}} \right ) \to 0, \ n \to + \infty \]
Quindi la tua stima non è corretta; il termine generico è infinitesimo. Tuttavia, sulla base di quanto abbiamo notato, la tua serie è divergente per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica di grado $ \frac{1}{2} < 1$. Infatti:
\[ \lim_{ n \to + \infty} {\frac{\cancel{ \frac{1}{\sqrt{n}}} \cdot \frac{3}{\left ( \ln 2 + \frac{\ln \left (1 + \frac{5}{2^n} \right )}{n} \right )} \cdot \left ( \frac{e^{\frac{3}{n}} - 1}{\frac{3}{n}} \right )}{\cancel{\frac{1}{\sqrt{n}}}}} = \frac{3}{\ln 2} \in (0,+ \infty) \]
quindi la serie ha lo stesso comportamento della serie armonica di grado $\frac{1}{2}$.
E' sempre meglio evitare di andare "a ragionamento"
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