Serie numerica
salve a tutti vorrei dei chiarimenti su un esercizio da me svolto, si tratta della seguente serie:
$\sum_{n=1}^infty (logn)/n$
Allora, io ho svolto così l'esercizio:
Per $n=1$ la serie da zero quindi ho supposto di poter riscrivere la serie in questo modo:
$\sum_{n=2}^infty 1/(n(logn)^-1)$
a questo punto ho applicato il criterio di Abel Dirichlet e sono arrivato alla conclusione che la serie diverge.. è un ragionamento corretto?
$\sum_{n=1}^infty (logn)/n$
Allora, io ho svolto così l'esercizio:
Per $n=1$ la serie da zero quindi ho supposto di poter riscrivere la serie in questo modo:
$\sum_{n=2}^infty 1/(n(logn)^-1)$
a questo punto ho applicato il criterio di Abel Dirichlet e sono arrivato alla conclusione che la serie diverge.. è un ragionamento corretto?
Risposte
In realtà è più semplice. Questa serie è asintotica alla serie armonica:
\[ \lim_{n \to + \infty} {\ln n} = + \infty \]
Visto che la serie armonica diverge, il limite può essere anche non finito. Quindi la serie diverge per confronto con la serie armonica.
\[ \lim_{n \to + \infty} {\ln n} = + \infty \]
Visto che la serie armonica diverge, il limite può essere anche non finito. Quindi la serie diverge per confronto con la serie armonica.
quindi il ragionamento da me fatto è sbagliato o vale lo stesso?
Il criterio di Abel Dirichlet fornisce una condizione sufficiente per la convergenza, ma non necessaria. Se il criterio non stabilisce che la serie converge, non stabilisce che non converge. Non stabilisce assolutamente niente. Quindi, non si può usare per stabilire la divergenza di una serie.
mmm io ricordavo una regola particolare per le serie numeriche notevoli che diceva che se una serie del tipo:
$\sum_{n=2}^infty 1/(n^p(log^qn))$
aveva:
$p>1$ converge
$p=1$ e $q>1$ converge
$p=1$ e $q<=1$ diverge
$p<1$ diverge
mi sbaglio?
$\sum_{n=2}^infty 1/(n^p(log^qn))$
aveva:
$p>1$ converge
$p=1$ e $q>1$ converge
$p=1$ e $q<=1$ diverge
$p<1$ diverge
mi sbaglio?
Questo non è un criterio particolare, ma è un caso di confronto con l'integrale. È un integrale improprio notevole, che converge e diverge per le condizioni che hai citato. Facendo il confronto con l'integrale, si può stabilire il comportamento della serie.
Non essendo particolarmente bravo in materia non mi esprimo a questo punto.. però se è come dici tu allora dovrei buttare il libro su cui ho letto queste cose e magari dirne due anche al mio professore di analisi visto che tempo fa mi disse che andava bene fare questo ragionamento..sperando che non cambi idea durante la correzione dell'esame..
Non ho detto che non sia corretto. Tu mi hai chiesto se fosse corretto utilizzare il criterio di Abel Dirichlet, e ti ho risposto di no. Poi mi hai fatto vedere questo metodo e io ti ho spiegato da cosa provengono quelle affermazioni, non ho detto che non è corretto utilizzare questa regola; in questo caso puoi utilizzarla, certo. Forse non ci siamo intesi sul nome; questo non è il criterio di Abel Dirichlet, è un'altra cosa.
ah capito!! grazie mille per la spiegazione!!:)
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