Serie numerica
Ciao, ho a che fare con la seguente serie numerica ma non riesco proprio a capire come determinarne il carattere:
$ sum(1/sqrt(log(n+2))-1/sqrt(log(n+1))) $
Potreste darmi almeno un suggerimento? Grazie!
$ sum(1/sqrt(log(n+2))-1/sqrt(log(n+1))) $
Potreste darmi almeno un suggerimento? Grazie!
Risposte
Suggerimento: è una serie telescopica 
Ecco, proprio quella che non ho trattato al corso! Giusto per curiosità: come ci si comporta con una serie telescopica?
Ti faccio l'esempio più famoso (ovvero la Serie di Mengoli):
La sua somma parziale si scrive come :
\[ \sum_{n = 1}^{k} \ \frac {1} {n} - \frac {1} {n + 1} = ( 1 \overbrace{- \frac {1} {2}) + ( \frac {1}{2}}^{{} = 0} \overbrace{- \frac {1} {3}) + (\frac {1} {3}}^{{} = 0} \overbrace{- \frac {1}{4}) + \dots }^{{} = 0} \overbrace{+ \dots + }^{{} = 0} \overbrace{ \dots + (\frac{1} {k}}^{{} = 0} - \frac {1} {k + 1}) \]
Ora, come è ben visibile, accade che i termini opposti si elidono, e ciò che rimane è
\[ 1 - \frac {1} {k + 1} \to 1, \ k \to + \infty \]
Quindi, detto molto semplicemente, sono serie in cui i termini si elidono e di cui quindi si può studiare direttamente il comportamento delle somme parziali all'infinito. Nel tuo caso, scrivendo per esteso le somme parziali, accade la stessa cosa
La sua somma parziale si scrive come :
\[ \sum_{n = 1}^{k} \ \frac {1} {n} - \frac {1} {n + 1} = ( 1 \overbrace{- \frac {1} {2}) + ( \frac {1}{2}}^{{} = 0} \overbrace{- \frac {1} {3}) + (\frac {1} {3}}^{{} = 0} \overbrace{- \frac {1}{4}) + \dots }^{{} = 0} \overbrace{+ \dots + }^{{} = 0} \overbrace{ \dots + (\frac{1} {k}}^{{} = 0} - \frac {1} {k + 1}) \]
Ora, come è ben visibile, accade che i termini opposti si elidono, e ciò che rimane è
\[ 1 - \frac {1} {k + 1} \to 1, \ k \to + \infty \]
Quindi, detto molto semplicemente, sono serie in cui i termini si elidono e di cui quindi si può studiare direttamente il comportamento delle somme parziali all'infinito. Nel tuo caso, scrivendo per esteso le somme parziali, accade la stessa cosa
Quindi, vediamo se ho capito. In questo caso i termini che restano in gioco sono:
$ -1/sqrt(log2)+1/sqrt(log(n+2)) $ , che per $ n -> +\infty $ converge a $ -1/sqrt(log2) $
Ho detto qualcosa di sbagliato o ho capito?
$ -1/sqrt(log2)+1/sqrt(log(n+2)) $ , che per $ n -> +\infty $ converge a $ -1/sqrt(log2) $
Ho detto qualcosa di sbagliato o ho capito?
Hai capito perfettamente
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