Serie numerica

[Giovanni172]

salve a tutti, volevo semplicemente chiedervi se eravate in grado di risolvere questa serie:
Dire l'insieme degli x $in$ [-1,1] per i quali la serie converge

$\sum_{k=1}^oo(1-cos(x^n))/(n+1)$

io direi che per x $in$ ]-1,1[ la serie per n grande tende asintoticamente alla serie $\sum_{k=1}^oo0$ che è convergente e quindi hanno lo stesso carattere

mentre per x=-1 e x=1 la serie per n grande tende asintoticamente alla serie $\sum_{k=1}^oo(1/n)$ che è divergente e quindi hanno lo stesso carattere

[kobeilprofeta]

se $x in (0,1)$ hai il coseno di un infinitesimo, che è quindi sviluppabile con McLaurin per ottenere:
$cos(x^n)=1-1/2*x^{2n}+o(x^{3n})$
diventa $a_n=frac{1/2*x^{2n}+o(x^{3n})}{n+1}<=1/n$ che va a zero.
n.b: non vorrei dire cavolate, ma credo che non sia corretto dire che una successione è asintotica alla successione $0$ (pensa al concetto di asintotico)
se $x=1 or x=-1$ hai che $cos (x^n)=cos 1 AA n$
dunque $a_n=frac{1-cos 1}{n+1}$
dunque la serie diventa $(1-cos 1)*\sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n+1}$, che ha lo stesso comportamento di $\sum 1/n$...

[Giovanni172]

grazie mille

[kobeilprofeta]

di niente, però ripassati bene le definizioni di o-piccolo e asintotico