Serie Numerica

[kipliko]

Buona sera a tutti,
ho un problema nel comprendere il procedimento da adottare nel criterio del confronto asintotico.
Ho la seguente serie:
$\sum_{n=1}^ infty [pi/2 - arctg(n^(alpha/2))]$

Dopo aver appurato che il limite della successione tende a 0 (condizione necessaria ma non sufficiente) pongo:
$beta=alpha/2$
Ed ottengo: $arctg(n^beta)$

Arrivato a questo punto comincio ad avere dei problemi, nel senso che mi viene da dire che:
$arctg(n^beta) ~ n^beta$
E questo è vero solo se:
$lim_(n->0) (arctg(n^beta) )/(n^beta)$ = L
Dove se L è $L != (0, infty )$.
Ma questo si verifica solo quando $alpha = 0$.
Scusate ma proprio non riesco a capire.

Grazie mille

Paolo

[Ernesto011]

Forse può essere utile ricordare che $ arctgx+arctg(1/x)=pi/2 $

[kipliko]

Ciao Ernesto01,
non riesco a collocare il tuo suggerimento.
Potresti cortesemente spiegare meglio?
Grazie mille

Paolo

[Ernesto011]

Applicandolo alla tua serie hai $ pi/2-arctg(n^(alpha/2))=arctg(1/(n^(alpha/2)))=arctg(n^(-alpha/2)) $ e ora puoi utilizzare taylor dato che tende a 0 all'aumentare di n

[ostrogoto1]

Nota: la condizione necessaria [limite del termine generale tendente a 0] e' soddisfatta per $ alpha>0 $.

[kipliko]

Grazie mille, siete stati utilissimi (come sempre).
Ciao
Paolo