Serie Numerica
Ragazzi avrei bisogno di una mano per determinare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^infty (sqrt(n^2+1)-n) / (log^3(n))$
Questo è quello che sono riuscito a fare finora:
Condizione necessaria per la convergenza
$lim_{n \to \infty}(nsqrt(1+1/n^2)-n) / (log^3(n)) = lim_{t \to 0}(1/tsqrt(1+t^2)-1/t) / (log^3(1/t)) = 0$
Poi pensavo di procedere col criterio del confronto asintotico, (ho capito più o meno come funziona, ma non so con cosa confrontare..)
Numeratore: $sqrt(n^2+1)-n ∼$ ??
Denominatore: $log^3(n) ∼ $ ??
$sum_{n=1}^infty (sqrt(n^2+1)-n) / (log^3(n))$
Questo è quello che sono riuscito a fare finora:
Condizione necessaria per la convergenza
$lim_{n \to \infty}(nsqrt(1+1/n^2)-n) / (log^3(n)) = lim_{t \to 0}(1/tsqrt(1+t^2)-1/t) / (log^3(1/t)) = 0$
Poi pensavo di procedere col criterio del confronto asintotico, (ho capito più o meno come funziona, ma non so con cosa confrontare..)
Numeratore: $sqrt(n^2+1)-n ∼$ ??
Denominatore: $log^3(n) ∼ $ ??
Risposte
sostanzialmente puoi procedere così :
\begin{align}
\frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\ln^3 n}\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} =\frac{n^2+1-n^2}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)\ln^3 n}\sim\frac {1 }{ 2 n\ln^3 n}
\end{align}
e da qui dovresti concludere ....
\begin{align}
\frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\ln^3 n}\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} =\frac{n^2+1-n^2}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)\ln^3 n}\sim\frac {1 }{ 2 n\ln^3 n}
\end{align}
e da qui dovresti concludere ....
Ricorda che $lim_( n -> \infty) n ((1 + 1/n)^k - 1) = k$ .
"Noisemaker":
sostanzialmente puoi procedere così :
\begin{align}
\frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\ln^3 n}\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} =\frac{n^2+1-n^2}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)\ln^3 n}\sim\frac {1 }{ 2 n\ln^3 n}
\end{align}
e da qui dovresti concludere ....
Non riesco a capire l'ultimo passaggio, come si fa a stabilire che è asintotico alla serie armonica generalizzata??
che ragionamento hai fatto per arrivarci?.. grazie ad entrambi
be considera il denominatore hai che l'infinito dominante nel radicando è $n^2$ che quindi essendo sotto radice, ed essendo $n\in\NN$ risulta equivalente a $n$ che sommato all'$n$ fuori dalla radice ti da $2n$ ...
Razionalizzando il numeratore abbiamo...
$\frac{\sqrt{1 + n^{2}}-n}{\ln ^{3} n} = \frac{1}{(\sqrt{1 + n^{2}}+n)\ \ln^{3} n} < \frac{1}{2\ n\ \ln^{3} n}$ (1)
... e l'ultimo termine e' il termine generale di una serie convergente...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\frac{\sqrt{1 + n^{2}}-n}{\ln ^{3} n} = \frac{1}{(\sqrt{1 + n^{2}}+n)\ \ln^{3} n} < \frac{1}{2\ n\ \ln^{3} n}$ (1)
... e l'ultimo termine e' il termine generale di una serie convergente...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
uhm credo di aver capito grazie
Quindi in pratica individuo il termine dominante di ogni pezzo elimino gli altri e sommo al resto giusto?
Ad esempio in questa serie:
$sum_{n=1}^infty sqrt(n-log(n))/n$
$sqrt(n-log(n))/n ∼ sqrt(n)/n$ elimino il logaritmo perchè n è il termine dominante, quindi rimane
$sqrt(n)/n = 1/sqrt(n)$
$sum_{n=1}^infty sqrt(n-log(n))/n ∼ sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n) $
Quindi la serie diverge..
Secondo voi può andare?? grazie
Quindi in pratica individuo il termine dominante di ogni pezzo elimino gli altri e sommo al resto giusto?
Ad esempio in questa serie:
$sum_{n=1}^infty sqrt(n-log(n))/n$
$sqrt(n-log(n))/n ∼ sqrt(n)/n$ elimino il logaritmo perchè n è il termine dominante, quindi rimane
$sqrt(n)/n = 1/sqrt(n)$
$sum_{n=1}^infty sqrt(n-log(n))/n ∼ sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n) $
Quindi la serie diverge..
Secondo voi può andare?? grazie
si ... in realtà devi stare attento perchè li hai una forma indeterminata....
quindi correttamente avresti:
\[\sqrt{n-\ln n}=\sqrt{n\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)}\sim\sqrt n\]
quindi correttamente avresti:
\[\sqrt{n-\ln n}=\sqrt{n\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)}\sim\sqrt n\]
Scusatemi di nuovo, ma qui come posso fare per risolvere la forma indeterminata e determinare a cosa è asintotico? 
il termine generale della serie è questo: $a_n = 1 / ( 3nroot(n)(n^2+2))$
il termine generale della serie è questo: $a_n = 1 / ( 3nroot(n)(n^2+2))$
non è una forma indeterminata ... per gli stessi argomenti di prima hai che
\[\frac{1}{3n\sqrt[n]{n^2+2}}\sim\frac{1}{3n \cdot n^{\frac{n}{2}}}=\frac{1}{3 n^{\frac{n}{2}+1}}=\frac{1}{3 e^{(\frac{n}{2}+1)\ln n}}\sim\frac{1}{3 e^{ \frac{n \ln n}{2} }} \to \mbox{converge} \]
\[\frac{1}{3n\sqrt[n]{n^2+2}}\sim\frac{1}{3n \cdot n^{\frac{n}{2}}}=\frac{1}{3 n^{\frac{n}{2}+1}}=\frac{1}{3 e^{(\frac{n}{2}+1)\ln n}}\sim\frac{1}{3 e^{ \frac{n \ln n}{2} }} \to \mbox{converge} \]
ma non sarebbe così??
$1/(3nroot(n)(n^2+2)) ∼1/(3n⋅n^(2/n))$
$1/(3nroot(n)(n^2+2)) ∼1/(3n⋅n^(2/n))$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo