Serie numeri complessi

[sandro5]

Ciao, scusate per la domanda forse ovvia, però ci hanno assegnato degli esercizi sulle serie
complesse senza fare nemmeno un esempio.
Potete farmi tutti i passaggi, soprattutto della seconda?

Ad esempio:

1 serie
$sum_(n=0)^(oo) (z-2i)^n$
$|x+Iy-2I|<1$
$-1

2 serie
$sum_(n=1)^(oo) (e^(i*z^2*n))$
$|e^(i*z^2)|<1


grazie ciao

[Sk_Anonymous]

La seconda serie non è altro che una variante della ‘serie geometrica’, ben nota agli alunni del liceo. Applicando la nota formula che dà la somma dei primi n termini di una progressione geometrica…

$S_n = a_0 (1-q^n)/(1-q)$ (1)

… nella quale $a_0$ è il primo termine della progressione e q è la ‘ragione’ , è evidente che se è |q|<1…

$lim_(n->oo) S_n = a_0/(1-q)$ (2)

Applicando la (2) con $a_0=e^(jz^2)$ e $q=e^(jz^2)$ [quindi è |q|<1…] si ha…

$sum_(n=1)^(oo) e^(jnz^2)= e^(jz^2)/(1-e^(jz^2))$ (3)


cordiali saluti

lupo grigio

[sandro5]

grazie della risposta lupo grigio.
qualcuno mi aiuta sulla prima?

[Sk_Anonymous]

La prima serie si affronta esattamente allo stesso modo con cui si è affrontata la prima. Se nella formula...

$lim_(n->oo) S_n = a_0/(1-q)$ (1)

... poniamo $a_0=1$ e $q=z-2j$ e verifichiamo che sia |q|<1 si ottiene...

$sum_(n=0)^(oo) (z-2j)^n = 1/(1+2j-z)$ (2)

cordiali saluti

lupo grigio