Serie notevole - esercizio di analisi 1
Salve, tra gli esercizi che devo fare per preparare Analisi 1 ho trovato la seguente serie: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{e^{nt}}$, dove $t>0$. Ci ho molto pensato ma non la riesco proprio a riportare ad una serie nota per trovare la sua somma. Col principio del rapporto si vede subito che converge. Qualcuno (magari qualche persona molto esperta) ha qualche idea? Grazie in anticipo.
Risposte
Sei sicuro che l'esercizio richieda di calcolare la somma della serie?
Certo. E' facile vedere che converge. Nessuno mi aiuto a trovare la somma? L'esercizio è così difficile??
Potrei sbagliarmi, ma temo che senza l'uso di funzioni speciali non sia possibile scrivere esplicitamente la somma.
Una volta che usi funzioni speciali (delle quali tipicamente conosci l'espansione in serie di potenze), tanto vale tenersi la serie così com'è...
Per capirci, la tua è una serie di potenze del tipo
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \log n \, z^n, \qquad \text{con}\ z = e^{-t}.
\]
Se anche identifichi la somma di questa serie con qualche parente di una funzione speciale non è detto che ne cavi molto di più.
Una volta che usi funzioni speciali (delle quali tipicamente conosci l'espansione in serie di potenze), tanto vale tenersi la serie così com'è...
Per capirci, la tua è una serie di potenze del tipo
\[
\sum_{k=1}^{\infty} \log n \, z^n, \qquad \text{con}\ z = e^{-t}.
\]
Se anche identifichi la somma di questa serie con qualche parente di una funzione speciale non è detto che ne cavi molto di più.
Mi sembra strano. Comunque non riesco a capire come mai non se ne trovi la sua somma visto che è un esercizio di Analisi 1!!
Puoi sempre chiedere al tuo professore quanto vale la somma 
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