Serie notevole

[xp92]

qualcuno conosce il comportamento della serie numerica che al numeratore ha 1 e al denominatore ha:
n^(alfa)*(logn)^(beta)? so che si potrebbe usare il criterio del confronto ma preferisco avere i vari casi di alfa e beta. grazie

[Noisemaker]

E' Una generalizzazione della serie armonica generalizzata:
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^{n\alpha}\ln^{\beta}2^n}&=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n\alpha-n}\left(n\ln2 \right)^{ \beta }}=\frac{1}{\ln^{ \beta }2 }\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n(\alpha-1)} n^{ \beta } }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}

[xp92]

grazie mille, gentilissimo come sempre,
però come mai per α=1 e β compreso tra 0 e 1 ho due comportamenti diversi?
grazie

[Noisemaker]

ho corretto, avevo scritto impropriamente $0$ anzichè $ 1$