Serie , nota di testo....
Cari ragazzi c'è una dubbio che mi assilla : su di un eserciziario di analisi II mi vien chiesto di valutare la convergenza normale di una serie . Ora , io di convergenza normale non ho mai sentito parlare ma al più di : puntuale , uniforme , assoluta e totale . Io ho presunto che si trattasse di quella totale!! Allora , cosa mi dite voi ?
Risposte
Salve menale,
guarda in questa pagina http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_convergence
Cordiali saluti
guarda in questa pagina http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_convergence
Cordiali saluti
Grazie Garnak , comunque si è lo stesso concetto di convergenza totale , sostanzialmente , diciamo un po' raffinato nel senso che si basa su di uno spazio normato . Tu che ne pensi in merito ?
Salve menale,
io il concetto lo avevo incontrato nell'analisi complessa, però leggendo sul sito a quanto pare esso è applicabile a qualunque spazio normato.
Condivido la tua osservazione, il concetto è una maggiore rigorosità ed raffinatezza matematica della convergenza totale.
Cordiali saluti
io il concetto lo avevo incontrato nell'analisi complessa, però leggendo sul sito a quanto pare esso è applicabile a qualunque spazio normato.
Condivido la tua osservazione, il concetto è una maggiore rigorosità ed raffinatezza matematica della convergenza totale.
Cordiali saluti
In realtà, la convergenza normale è la convergenza totale.
Infatti una serie di funzioni a valori reali \(\sum f_n\) si dice totalmente convergente se esiste una successione nonnegativa \(M_n\) tale che \(\sum M_n\) converge e \(\sup |f_n|\leq M_n\); d'altra parte si dice che \(\sum f_n\) converge normalmente se è convergente la serie \(\sum \sup |f_n|\) converge.
Altresì è evidente che se è verificata la prima condizione è verificata anche la seconda e che reciprocamente, se è verificata la seconda, per soddisfare la prima basta prendere \(M_n=\sup |f_n|\).
Perché accade ciò: ebbene, è facile verere che la funzione \(\lVert \cdot \rVert_\infty: B \ni f\mapsto \sup |f_n| \in [0,+\infty[\) (qui e nel seguito \(B\) denota uno spazio di funzioni limitate*) è una norma su \(B\); perciò la convergenza totale è la convergenza normale rispetto alla norma di \(B\).
Le ipotesi che posso fare sul perché si mantenga una certa distinzione terminologica sono le seguenti: o "convergenza totale" è una terminologia molto italiana, quindi chi preferisce scrivere rispettando i canoni internazionali non usa questo modo di dire; oppure si usa perché gli studenti di Analisi II gli spazi normati non sanno cosa sono.
__________
* Un setting abbastanza generale (per l'Analista... un Algebrista potrebbe pensarla diversamente) potrebbe essere questo: se fissiamo uno spazio \(X\) non vuoto ed uno spazio normato \(Y\), allora le funzioni di \(B(X;Y)\) sono le funzioni \(f:X\to Y\) tali che \(\sup_{x\in \mathbb{R}} \lVert f (x)\rVert_Y <\infty\) .
Infatti una serie di funzioni a valori reali \(\sum f_n\) si dice totalmente convergente se esiste una successione nonnegativa \(M_n\) tale che \(\sum M_n\) converge e \(\sup |f_n|\leq M_n\); d'altra parte si dice che \(\sum f_n\) converge normalmente se è convergente la serie \(\sum \sup |f_n|\) converge.
Altresì è evidente che se è verificata la prima condizione è verificata anche la seconda e che reciprocamente, se è verificata la seconda, per soddisfare la prima basta prendere \(M_n=\sup |f_n|\).
Perché accade ciò: ebbene, è facile verere che la funzione \(\lVert \cdot \rVert_\infty: B \ni f\mapsto \sup |f_n| \in [0,+\infty[\) (qui e nel seguito \(B\) denota uno spazio di funzioni limitate*) è una norma su \(B\); perciò la convergenza totale è la convergenza normale rispetto alla norma di \(B\).
Le ipotesi che posso fare sul perché si mantenga una certa distinzione terminologica sono le seguenti: o "convergenza totale" è una terminologia molto italiana, quindi chi preferisce scrivere rispettando i canoni internazionali non usa questo modo di dire; oppure si usa perché gli studenti di Analisi II gli spazi normati non sanno cosa sono.
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* Un setting abbastanza generale (per l'Analista... un Algebrista potrebbe pensarla diversamente) potrebbe essere questo: se fissiamo uno spazio \(X\) non vuoto ed uno spazio normato \(Y\), allora le funzioni di \(B(X;Y)\) sono le funzioni \(f:X\to Y\) tali che \(\sup_{x\in \mathbb{R}} \lVert f (x)\rVert_Y <\infty\) .
Quindi la visione che propongono le due " diciture " è sostanzialmente la stessa ! Mi interessa che la tua osservazione , gugo82 , a riguardo degli studenti di analisi due che non conoscono gli spazi normati ! 
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