Serie non so continuare
Buongiorno 
. mi sono bloccata su una serie. $sum_{n=1}^{+\infty}((x+2)^n^2)/n^n $ .
ho ragionato così: 1. E una serie positiva. 2. il limite fa 0 perchè $n^n$ è più veloce rispetto al numeratore per cui ho che ho 0 E quindi Cauchy è soddisfatto. 3. decido il criterio.
inizialmente avevo pensato alla convergenza assoluta più radice ma essendo $n^2$ non risolvo nulla per cui ho agito con rapporto.ed ho : $ |lim_(n -> oo) [(x+2)^(n+1)^2)/(n+1)^(n+1) (n^n)/(x+2)^(n^2)|$. sviluppo il quadrato e semplifico quello che posso : $ |lim_(n -> oo) (((x+2)(x+2)^(2n)n^n)]/[(x+1)(n+1)^n]| $ . arrivata qui non so come continuare... grazie in anticipo
. mi sono bloccata su una serie. $sum_{n=1}^{+\infty}((x+2)^n^2)/n^n $ .ho ragionato così: 1. E una serie positiva. 2. il limite fa 0 perchè $n^n$ è più veloce rispetto al numeratore per cui ho che ho 0 E quindi Cauchy è soddisfatto. 3. decido il criterio.
inizialmente avevo pensato alla convergenza assoluta più radice ma essendo $n^2$ non risolvo nulla per cui ho agito con rapporto.ed ho : $ |lim_(n -> oo) [(x+2)^(n+1)^2)/(n+1)^(n+1) (n^n)/(x+2)^(n^2)|$. sviluppo il quadrato e semplifico quello che posso : $ |lim_(n -> oo) (((x+2)(x+2)^(2n)n^n)]/[(x+1)(n+1)^n]| $ . arrivata qui non so come continuare... grazie in anticipo
Risposte
Ciao VALE0,
Se ho ben capito la serie proposta è la seguente:
$ sum_{n=1}^{+\infty}((x+2)^{n^2})/n^n $
Falso. $n^2 $ può essere dispari ed in tal caso $(x + 2)^{n^2}$ può tranquillamente essere negativo per opportuni valori di $x$...
Purtroppo è falso anche questo... Se ad esempio $x = 1 $ la serie proposta diventa $ sum_{n=1}^{+\infty}(3^{n^2})/n^n $ che non può convergere in quanto non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy.
La tua idea iniziale non mi pare malvagia...
Tant'è vero che poi i moduli li hai usati (maluccio anche stavolta per la verità... )
Se ho ben capito la serie proposta è la seguente:
$ sum_{n=1}^{+\infty}((x+2)^{n^2})/n^n $
$ sum_{n=1}^{+\infty}((x+2)^{n^2})/n^n $"VALE0":
1. E una serie positiva.
Falso. $n^2 $ può essere dispari ed in tal caso $(x + 2)^{n^2}$ può tranquillamente essere negativo per opportuni valori di $x$...
"VALE0":
2. il limite fa 0 perchè $n^n $ è più veloce rispetto al numeratore per cui ho che ho 0 E quindi Cauchy è soddisfatto.
Purtroppo è falso anche questo... Se ad esempio $x = 1 $ la serie proposta diventa $ sum_{n=1}^{+\infty}(3^{n^2})/n^n $ che non può convergere in quanto non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy.
"VALE0":
3. decido il criterio. inizialmente avevo pensato alla convergenza assoluta più radice
La tua idea iniziale non mi pare malvagia...
Tant'è vero che poi i moduli li hai usati (maluccio anche stavolta per la verità...
)
ma comunque $n^n$ non è più veloce di $3^n^(2)$??
$ |lim_(n -> oo) (((x+2)(x+2)^(2n)n^n)]/[(x+1)(n+1)^n]| $ il mio problema è comunque non so come comportarmi ora, provo a mettere in evidenza al numeratore e denominatore $n^n$??
grazie mille
$ |lim_(n -> oo) (((x+2)(x+2)^(2n)n^n)]/[(x+1)(n+1)^n]| $ il mio problema è comunque non so come comportarmi ora, provo a mettere in evidenza al numeratore e denominatore $n^n$??
grazie mille
Calma VALE0, non farti prendere dal panico lanciandoti in calcoli assurdi, oltre che inutili...
Partiamo dalla tua buona idea iniziale e consideriamo la serie assoluta:
$ sum_{n=1}^{+\infty}(|x+2|^{n^2})/n^n $
Applicando il criterio della radice a tale serie si ha:
$lim_{n \to +\infty} root[n]{|a_n(x)|} = lim_{n \to +\infty} frac{|x + 2|^n}{n} $
Ora, se rifletti un attimo con calma, il risultato dell'ultimo limite scritto è $0 $, e quindi la serie converge assolutamente, solo se $|x + 2| \le 1 \implies - 3 \le x \le - 1 $
Dato che la serie converge assolutamente per $ - 3 \le x \le - 1 $ ne consegue che la serie proposta iniziale converge semplicemente per $ - 3 \le x \le - 1 $
Partiamo dalla tua buona idea iniziale e consideriamo la serie assoluta:
$ sum_{n=1}^{+\infty}(|x+2|^{n^2})/n^n $
Applicando il criterio della radice a tale serie si ha:
$lim_{n \to +\infty} root[n]{|a_n(x)|} = lim_{n \to +\infty} frac{|x + 2|^n}{n} $
Ora, se rifletti un attimo con calma, il risultato dell'ultimo limite scritto è $0 $, e quindi la serie converge assolutamente, solo se $|x + 2| \le 1 \implies - 3 \le x \le - 1 $
Dato che la serie converge assolutamente per $ - 3 \le x \le - 1 $ ne consegue che la serie proposta iniziale converge semplicemente per $ - 3 \le x \le - 1 $
grazie ora è tutto più chiaro, un ulteriore dubbio nelle serie con parametro va messa sempre la convergenza assoluta? grazie
"VALE0":
grazie ora è tutto più chiaro
Prego
"VALE0":
un ulteriore dubbio nelle serie con parametro va messa sempre la convergenza assoluta?
Beh, in generale sì, poi se si è sicuri che i termini della serie sono positivi, perché ad esempio compare un quadrato, non è necessario. Ad esempio per la serie
$sum_{n=1}^{+\infty}((x+2)^{2n})/n^n = sum_{n=1}^{+\infty} [(x+2)^2/n]^n $
non è necessario considerare la convergenza assoluta perché sicuramente è a termini positivi essendo $(x + 2)^2 \ge 0 \quad \AA x \in \RR $
però la posso mettere comunque? grazie 
)
)
Beh, danni non ne fai, al limite è inutile...
Diciamo che siccome in generale il valore assoluto un po' di fastidio lo procura, quando si può evitare di metterlo perché si vede che la serie è a termini positivi tipicamente lo si evita...
Diciamo che siccome in generale il valore assoluto un po' di fastidio lo procura, quando si può evitare di metterlo perché si vede che la serie è a termini positivi tipicamente lo si evita...
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