Serie molto difficile (risolto)
Ragazzi ho un problema con questa serie:
$sum (n!)/(n^n) cos n$
considero la serie dei valori assoluti
$sum (n!)/(n^n) |cos n|$....
poi ho pensato di applicare il criterio del rapporto....
$lim_(n -> oo ) (|cos(n+1)|(n+1)!(n^n))/((n+1)^(n+1)|cosn| n!$
che mi diventa
$1/e lim_(n -> oo ) |cos(n+1)|/|cosn|$
Come lo risolvo questo limite????
$sum (n!)/(n^n) cos n$
considero la serie dei valori assoluti
$sum (n!)/(n^n) |cos n|$....
poi ho pensato di applicare il criterio del rapporto....
$lim_(n -> oo ) (|cos(n+1)|(n+1)!(n^n))/((n+1)^(n+1)|cosn| n!$
che mi diventa
$1/e lim_(n -> oo ) |cos(n+1)|/|cosn|$
Come lo risolvo questo limite????
Risposte
Io direi che devi partire dal fatto che il termine generale della tua serie è sempre compreso tra
[tex]$-\frac{n!}{n^n}\le a_n\le\frac{n!}{n^n}$[/tex]
per cui se applichi il modulo il limite di $a_n$ è sempre minore di....
[tex]$-\frac{n!}{n^n}\le a_n\le\frac{n!}{n^n}$[/tex]
per cui se applichi il modulo il limite di $a_n$ è sempre minore di....
scusa....ma non capisco perchè dovrebbe essere compresa tra quei valori....
"fk16":
scusa....ma non capisco perchè dovrebbe essere compresa tra quei valori....
$|cosn|<=1$, $\forall n \in NN$.
purtroppo non riesco a capire...=(
Il coseno è una funzione limitata. Fin qui ci sei?
si questo l'ho capito..
Partiamo da questa informazione
[tex]|\cos(n)|\le 1[/tex] da qui moltiplica ambo i membri per [tex]\frac{n!}{n^n}[/tex] osservando che quest'ultima è una quantità positiva per ogni [tex]n\in \mathbb{N}_{>0}[/tex] e quindi non inverte il verso della disuguglianza di conseguenza...
[tex]|\cos(n)|\le 1[/tex] da qui moltiplica ambo i membri per [tex]\frac{n!}{n^n}[/tex] osservando che quest'ultima è una quantità positiva per ogni [tex]n\in \mathbb{N}_{>0}[/tex] e quindi non inverte il verso della disuguglianza di conseguenza...
Cosn quindi appartiene definitivamente ad un intorno di $(n!)/(n)^n$
mentre $cos(n+1)$ si mantiene:
$|cos(n+1)|<=((n+1)!)/((n+1)^n)$
Giusto???? il mio ragionamento fin qui????
mentre $cos(n+1)$ si mantiene:
$|cos(n+1)|<=((n+1)!)/((n+1)^n)$
Giusto???? il mio ragionamento fin qui????
Che carattere ha la serie $sum (n!)/n^n$?
se no mi sbaglio converge.......no?
Attento, ricominciamo da capo. Il nostro intento è quello di studiare la convergenza assoluta della serie.
Da [tex]|\cos(n)|\le 1\quad \forall n\in \mathbb{N}[/tex] segue che [tex]\frac{n!}{n^n}|\cos(n)|\le \frac{n!}{n^n}\quad\forall n\in \mathbb{N}_{>0}[/tex] di conseguenza:
[tex]$\sum_n \frac{n!}{n^n}|\cos(n)|\le \sum_ n \frac{n!}{n^n}[/tex]. Indaga ora sul carattere della serie [tex]$\sum_ n \frac{n!}{n^n}[/tex] e usa il criterio del confronto.
[Edit]:Oops, sono troppo lento nel rispondere!
Da [tex]|\cos(n)|\le 1\quad \forall n\in \mathbb{N}[/tex] segue che [tex]\frac{n!}{n^n}|\cos(n)|\le \frac{n!}{n^n}\quad\forall n\in \mathbb{N}_{>0}[/tex] di conseguenza:
[tex]$\sum_n \frac{n!}{n^n}|\cos(n)|\le \sum_ n \frac{n!}{n^n}[/tex]. Indaga ora sul carattere della serie [tex]$\sum_ n \frac{n!}{n^n}[/tex] e usa il criterio del confronto.
[Edit]:Oops, sono troppo lento nel rispondere!
Esatto...
E siccome $sum (n!)/n^n | cos(n) |$ è una serie a termini positivi di cui $sum (n!)/n^n$ è una maggiorante, allora converge.
E siccome $sum (n!)/n^n | cos(n) |$ è una serie a termini positivi di cui $sum (n!)/n^n$ è una maggiorante, allora converge.
scusa....visto che non sono molto pratico ad usare il criterio del confronto.....ma se applico il criterio del rapporto il limite non viene $e^(-1)$ che è una quantità minore di 1 e quindi converge la serie dei valori assoluti??....... 
"fk16":
scusa....visto che non sono molto pratico ad usare il criterio del confronto.....ma se applico il criterio del rapporto il limite non viene $e^(-1)$ che è una quantità minore di 1 e quindi converge la serie dei valori assoluti??.......
A quale limite ti riferisci?
A [tex]$\lim_{n\to+\infty} \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} |\cos(n+1)|}{\frac{n!}{n^n} |\cos(n)|}[/tex] ?
Se ti riferissi a questo, sappi che il limite di [tex]\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} |\cos(n+1)|}{\frac{n!}{n^n} |\cos(n)|}[/tex] non esiste. Il coseno è oscillante e non ammette limite per [tex]n\to +\infty[/tex]. Da qui la necessità di utilizzare il criterio del confronto. Spero sia più chiaro ora.
no io mi riferisco al limite $lim_(n -> oo ) ((n+1)!)/((n+1)^(n+1))((n^n)/(n!))$ visto che la serie di partenza si comporta come la serie $ sum (n!)/(n^n) $
"fk16":
no io mi riferisco al limite $lim_(n -> oo ) ((n+1)!)/((n+1)^(n+1))((n^n)/(n!))$ visto che la serie di partenza si comporta come la serie $ sum (n!)/(n^n) $
Ah ok, allora siamo d'accordo. Il limite è [tex]\frac{1}{e}[/tex] dunque la serie [tex]$\sum_{n}\frac{n!}{n^n}[/tex] converge.
"fk16":
no io mi riferisco al limite $lim_(n -> oo ) ((n+1)!)/((n+1)^(n+1))((n^n)/(n!))$ visto che la serie di partenza si comporta come la serie $ sum (n!)/(n^n) $
Però questo non è che sia proprio corretto... Non si comportano "allo stesso modo"; piuttosto la serie $ sum (n!)/(n^n) $ è una maggiorante della serie di partenza (mentre $ sum - (n!)/(n^n) $ è una minorante).
EDIT: Perché scritto così sembrava ci fosse un'equivalenza asintotica.
quindi visto che questa serie converge allora la serie dei valori assoluti che è una minorante converge pure e quindi la serie di partenza converge assolutamente giusto?????
Sì.
"Seneca":
[quote="fk16"]no io mi riferisco al limite $lim_(n -> oo ) ((n+1)!)/((n+1)^(n+1))((n^n)/(n!))$ visto che la serie di partenza si comporta come la serie $ sum (n!)/(n^n) $
Però questo non è che sia proprio corretto... Non si comportano "allo stesso modo"; piuttosto la serie $ sum (n!)/(n^n) $ è una maggiorante della serie di partenza (mentre $ sum - (n!)/(n^n) $ è una minorante).
EDIT: Perché scritto così sembrava ci fosse un'equivalenza asintotica.[/quote]
Vero, io l'ho interpretato come "convergono entrambi". Hai fatto bene a mettere in evidenza questo fatto! Il linguaggio matematico è importante.
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