Serie matematiche

[Insubrico]

Che differenza c'è fra la serie di Taylor e la serie di Laurent nel campo complesso?


Ciao

[CiUkInO1]

Che differenza c'è fra la serie di Taylor e la serie di Laurent nel campo complesso?

Per poter sviluppare una funzione in serie di Taylor la funzione deve essere analitica in un intorno del punto dove lo calcoli.
Per sviluppare una funzione con Laurent la funzione deve essere analitica in una corona circolare.
Molte volte comunque si fa lo sviluppo in serie di Laurent utilizzando lo sviluppo in serie di taylor.
Prendendo ad esempio $f(z)=e^(1/z)$, chiaramente non è sviluppabile secondo taylor in un intorno di zero.
Però si fa lo sviluppo di Laurent utilizzando lo sviluppo di taylor di $f(z)=e^x$, solo che al posto di $x$ ci metti $1/z$

ovver $\sum 1/(z^n n!)