Serie logaritmica!

[Danying]

salve desideravo una dritta sul carattere della seguente serie:

$ sum_(n=2)^infty 1/(nlogn)$

precedentemente ho studiato $sum_(n=1)^infty 1/(n+logn)$ che asintoticamente si comporta come $ sum_(n=1)^infty 1/n$ e pertanto diverge..



con il confronto asintotico il $ lim_n [ 1/(n*logn) ] /[ 1/n]$ fa 0 e quindi il criterio non è applicabile per la serie in questione....

come potrei risolvere nella maniera più semplice possibile?

ho un appunto teorico su una serie del genere..."serie armonica generalizzata"

e dato che gli esponenti di $n$ e $logn$ sono $1$ la serie dovrebbe esser divergente... ma non ne sono sicuro...

grazie

[mgiaff]

Prova con il criterio di condensazione

[Danying]

"mgiaff":Prova con il criterio di condensazione

non so bene come applicarlo anche se mi son studiato la teoria; ci provo...


dobbiamo considerare la serie $ sum 2^n a_(2^n)$

e quindi

$ (2^n)/(2^n log2^n)$ ??

[pater46]

ovvero ancora $ sum 1/(nln2) $. Cosa fa?

[Danying]

"pater46":ovvero ancora $ sum 1/(nln2) $. Cosa fa?

diverge perchè maggiorante della serie armonica ?

[pater46]

Piu che altro perchè è serie armonica $ sum 1/(nln2) = 1/ln2 sum 1/n$

[Danying]

"pater46":Piu che altro perchè è serie armonica $ sum 1/(nln2) = 1/ln2 sum 1/n$

grazie !!!!

ps: quindi il passaggio "algebrico" che ho fatto ...nel primo post sul criterio di condensazione è giusto ?
non credevo... !!!!!!!!!

[pater46]

Già, quando ci sono logaritmi in mezzo quasi sempre si usa il criterio di condensazione!

[Danying]

"pater46":Già, quando ci sono logaritmi in mezzo quasi sempre si usa il criterio di condensazione!

ehm... non sempre!

colgo l'occasione per postare un esercizietto nel post


$ sum_(n=2)^infty 1/(n sqrt(logn))$

si può vedere come $ a_n= 1/sqrt(logn)$ e $ b_n= 1/n$ e fare $[1/sqrt(logn)]/[1/n]$ ??

tale limite è $infty$ ...

diverge anche la serie data ?
non mi ricordo da quale esercizio ho appreso un metodo simile...

vorrei discuterne..

[pater46]

lol se applichi nuovamente cauchy vedi che quella serie si comporta come:

$1/\sqrt(ln2) sum 1/\sqrt(n) $ che diverge!

[Danying]

"pater46":lol se applichi nuovamente cauchy vedi che quella serie si comporta come:

$1/\sqrt(ln2) sum 1/\sqrt(n) $ che diverge!

sto notando che la maggior parte delle serie con i logaritmi divergono !

[mgiaff]

Ah sì?

$ sum 1/(n*log^2 n) $