Serie Laurent f(z)
Buongiorno a tutti!
facendo degli esercizi mi sono imbattuto in questa funzione di cui devo fare (come da titolo) una serie di Laurent intorno alla singolarità $z=i$:
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)$
Questa funzione dovrebbe: essere regolare a $z= \oo$ ed avere poli semplici in $z=+-i$ e $z=+-2i$.
solitamente per trovare lo sviluppo in serie di Laurent di altre funzioni (ad esempio $g= z/((z+1)(z+2))$ intorno a $z=-2$) procedevo con una sostituzione del tipo $u=z+z_0$, e con qualche calcolo mi ricavavo la serie... del tipo:
$g= z/((z+1)(z+2))=\phi (u) = (u-2)/((u-1)u)=(2-u)/(u)*x17(1-u)=(2-u)/(u)*x(1+u+u^2)= ...$ sino ad ottenere la serie.
Ma per
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)=(z^2)/((z^2+1)(z^2+4))=(z^2)/((z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i))$ non riesco a trovare una sostituzione adeguata o un modo alternativo. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille anticipatamente
intanto continuo a provare!
facendo degli esercizi mi sono imbattuto in questa funzione di cui devo fare (come da titolo) una serie di Laurent intorno alla singolarità $z=i$:
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)$
Questa funzione dovrebbe: essere regolare a $z= \oo$ ed avere poli semplici in $z=+-i$ e $z=+-2i$.
solitamente per trovare lo sviluppo in serie di Laurent di altre funzioni (ad esempio $g= z/((z+1)(z+2))$ intorno a $z=-2$) procedevo con una sostituzione del tipo $u=z+z_0$, e con qualche calcolo mi ricavavo la serie... del tipo:
$g= z/((z+1)(z+2))=\phi (u) = (u-2)/((u-1)u)=(2-u)/(u)*x17(1-u)=(2-u)/(u)*x(1+u+u^2)= ...$ sino ad ottenere la serie.
Ma per
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)=(z^2)/((z^2+1)(z^2+4))=(z^2)/((z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i))$ non riesco a trovare una sostituzione adeguata o un modo alternativo. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille anticipatamente
intanto continuo a provare!
Risposte
"ebol":
Se posso volevo chiederti come operare su quest'altro sviluppo in serie di Laurent;
in realtà il problema è che non riesco a far vedere che in $z=i \pi$ la funzione ha una singolarità... e quindi in sostanza è anzitutto sui poli il problema
$f(z)=(sinh^2(z)-1)/(cosh^2(z)+2cosh(z)+1)$
La relazione fondamentale tra seno e coseno iperbolici importa \(\sinh^2 z-1=\cosh^2 z-2\) \(=(\cosh z-\sqrt{2})(\cosh z+\sqrt{2})\); d'altra parte è \(\cosh^2 z+2\cosh z+1 =(1+\cosh z)^2\); quindi la funzione assegnata si riscrive:
\[
f(z) =\frac{(\cosh z-\sqrt{2})(\cosh z+\sqrt{2})}{(1+\cosh z)^2}\; .
\]
Si vede che numaratore e denominatore non hanno zeri in comune, ergo i poli della funzione \(f\) si trovano tutti in corrispondenza degli zeri del denominatore ed hanno lo stesso ordine di tali zeri; dato che:
\[
\cosh z+1=0 \ \Leftrightarrow \ z=\imath\ \pi (2n+1),\quad n\in \mathbb{Z}
\]
e che:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} z} [\cosh z+1] \Bigg|_{z=\imath\ \pi (2n+1)} &= \sinh z\Bigg|_{z=\imath \pi (2n+1)} = 0\\
\frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} [\cosh z+1] \Bigg|_{z=\imath\ \pi (2n+1)} &= \cosh z\Bigg|_{z=\imath \pi (2n+1)} =-1\neq 0
\end{split}
\]
il denominatore ha uno zero d'ordine \(2\times 2=4\) in \(\imath\ \pi (2n+1)\), ergo la funzione \(f\) ha un polo di ordine \(4\) in ognuno di tali punti.
D'altra parte, i punti tali che \(\cosh z=\pm \sqrt{2}\) sono zeri semplici della funzione \(f\). Inoltre la funzione \(f\) presenta una singolarità non isolata (e quindi non classificabile) in \(\infty\) , giacché il punto all'infinito è d'accumulazione per i poli di \(f\).
@gugo82
Ok. Intanto riporto la funzione originale:
$[f(z)=(sinh^2z-1)/(cosh^2z+2coshz+1)]$
A quanto pare, bisognerebbe determinare anche lo sviluppo in serie nel polo $[z=ipi]$. Tra le molteplici rappresentazioni della funzione, mi sembrava che la più idonea fosse:
$\{(z=i(pi-t)),(t=i(z-ipi)):} rarr [f(t)=1-2*(1/(1-cost))+1/(sent)*d/dt(1/(1-cost))]$
da sviluppare nel polo $[t=0]$. Il risultato si dovrebbe ottenere sviluppando:
1. $[1/(1-cost)]$
2. $[1/(sent)]$
3. $[d/dt(1/(1-cost))]$ derivando termine a termine $[1/(1-cost)]$
Nella migliore delle ipotesi, si riuscirebbe a scrivere lo sviluppo mediante un termine costituito dal prodotto di due serie. Mi chiedevo se si potesse evitare adottando un procedimento diverso. In ogni modo, come esercizio d'esame, mi sembra un po' troppo articolato. Soprattutto perchè determinare quella rappresentazione di $[f(z)]$ è piuttosto laborioso. Sempre che non mi stia perdendo qualcosa.
Ok. Intanto riporto la funzione originale:
$[f(z)=(sinh^2z-1)/(cosh^2z+2coshz+1)]$
A quanto pare, bisognerebbe determinare anche lo sviluppo in serie nel polo $[z=ipi]$. Tra le molteplici rappresentazioni della funzione, mi sembrava che la più idonea fosse:
$\{(z=i(pi-t)),(t=i(z-ipi)):} rarr [f(t)=1-2*(1/(1-cost))+1/(sent)*d/dt(1/(1-cost))]$
da sviluppare nel polo $[t=0]$. Il risultato si dovrebbe ottenere sviluppando:
1. $[1/(1-cost)]$
2. $[1/(sent)]$
3. $[d/dt(1/(1-cost))]$ derivando termine a termine $[1/(1-cost)]$
Nella migliore delle ipotesi, si riuscirebbe a scrivere lo sviluppo mediante un termine costituito dal prodotto di due serie. Mi chiedevo se si potesse evitare adottando un procedimento diverso. In ogni modo, come esercizio d'esame, mi sembra un po' troppo articolato. Soprattutto perchè determinare quella rappresentazione di $[f(z)]$ è piuttosto laborioso. Sempre che non mi stia perdendo qualcosa.
@speculor: Determinare esplicitamente lo sviluppo in serie di Laurent di quella funzione lì è un compito arduo da portare a termine. Anzi, come ho avuto già modo di dire altrove, questo è uno di quei compiti che evidenziano unicamente il sadismo di chi li assegna. 
Ad ogni modo, dato che \(f\) ha un polo d'ordine \(4\) in \(\imath\ \pi\), sappiamo che la serie di Laurent è del tipo \(\sum_{n=-4}^\infty c_n\ (z-\imath\ \pi)^n\); i coefficienti \(c_n\) si possono calcolare esplicitamente o procedendo come indichi tu (ossia facendo il prodotto secondo Cauchy di due serie di potenze), oppure tenendo presente che \(c_n\) è un residuo: invero moltiplicando l'uguaglianza \(f(z)=\sum_{n=-4}^\infty c_n(z-\imath\ \pi)^n\) per \((z-\imath\ \pi)^{-N-1}\) (con \(N\geq -4\)) si ottiene:
\[
f(z)\ (z-\imath\ \pi)^{-N-1} =\sum_{n=-4}^\infty c_n\ (z-\imath\ \pi)^{n-N-1} =\sum_{k=-(N+5)}^\infty c_{1+N+k}\ (z-\imath\ \pi)^k
\]
e quindi:
\[
c_N =\text{Res} \Big( f(z)\ (z-\imath\ \pi)^{-N-1};\ \imath\ \pi\Big)\; .
\]
Ad ogni modo, dato che \(f\) ha un polo d'ordine \(4\) in \(\imath\ \pi\), sappiamo che la serie di Laurent è del tipo \(\sum_{n=-4}^\infty c_n\ (z-\imath\ \pi)^n\); i coefficienti \(c_n\) si possono calcolare esplicitamente o procedendo come indichi tu (ossia facendo il prodotto secondo Cauchy di due serie di potenze), oppure tenendo presente che \(c_n\) è un residuo: invero moltiplicando l'uguaglianza \(f(z)=\sum_{n=-4}^\infty c_n(z-\imath\ \pi)^n\) per \((z-\imath\ \pi)^{-N-1}\) (con \(N\geq -4\)) si ottiene:
\[
f(z)\ (z-\imath\ \pi)^{-N-1} =\sum_{n=-4}^\infty c_n\ (z-\imath\ \pi)^{n-N-1} =\sum_{k=-(N+5)}^\infty c_{1+N+k}\ (z-\imath\ \pi)^k
\]
e quindi:
\[
c_N =\text{Res} \Big( f(z)\ (z-\imath\ \pi)^{-N-1};\ \imath\ \pi\Big)\; .
\]
@gugo82
Grazie e buono a sapersi.
Grazie e buono a sapersi.
Anzitutto Grazie mille ad entrambi! Ho letto i vostri commenti e non pensavo potesse essere così copmlesso l'esercizio (di solito il prof. non mette cose impossibili)
Non capisco come si veda che il polo è di ordine $2*2=4$
ho considerato la sostituzione $t=i(\pi-t)$ e poi ho sfruttato le formule di addizzione e le proprietà delle funzioni iperboliche:
$sinh^2[i(\pi-t)]=[i*sin(\pi-t)]^2=-sin^2(t)$
$cosh[i(\pi-t)]=-cos(t)$
ottenendo:
$f(t)=[-sin^2(t)-1]/[1-cos(t)]^2$
con Polo: $t=0$
questo può aiutare allo studio e lo sviluppo in Serie di Laurent??
P.S.
Oggi ho dato lo scritto e sembra tutto ok! quindi grazie 2 volte
"gugo82":
il denominatore ha uno zero d'ordine \(2\times 2=4\) in \(\imath\ \pi (2n+1)\), ergo la funzione \(f\) ha un polo di ordine \(4\) in ognuno di tali punti.
Non capisco come si veda che il polo è di ordine $2*2=4$
"speculor":
$\{(z=i(pi-t)),(t=i(z-ipi)):} rarr [f(t)=1-2*(1/(1-cost))+1/(sent)*d/dt(1/(1-cost))]$
da sviluppare nel polo $[t=0]$.
ho considerato la sostituzione $t=i(\pi-t)$ e poi ho sfruttato le formule di addizzione e le proprietà delle funzioni iperboliche:
$sinh^2[i(\pi-t)]=[i*sin(\pi-t)]^2=-sin^2(t)$
$cosh[i(\pi-t)]=-cos(t)$
ottenendo:
$f(t)=[-sin^2(t)-1]/[1-cos(t)]^2$
con Polo: $t=0$
questo può aiutare allo studio e lo sviluppo in Serie di Laurent??
P.S.
Oggi ho dato lo scritto e sembra tutto ok! quindi grazie 2 volte
"ebol":
... ho considerato la sostituzione $t=i(\pi-t)$ e poi ...
Immagino tu intendessi $[z=i(\pi-t)]$. In ogni modo:
$f(t)=1-2*(1/(1-cost))+1/(sent)*d/dt(1/(1-cost))=1-2/(1-cost)-1/(1-cost)^2=$
$=(cos^2t-2)/(1-cost)^2=(-sen^2t-1)/(1-cost)^2$
Ovviamente, sono due rappresentazioni diverse della stessa funzione. Veramente, i calcoli mi avevano naturalmente condotto verso la tua rappresentazione. Ma non essendone particolarmente soddisfatto, per la presenza di $[sen^2t]$ sostanzialmente, ho preferito quella da me proposta. A questo punto, in bocca al lupo per l'orale.
si si volevo dire $z=...$ 
Scusa sono un po' fuso! Ora ho capito da dove arrivava la tua proposta come rientro a casa provo a farne l'espansione in serie di Laurent! ma anche avere solamente i coefficienti $a_(-n)$ della serie mi soddisferebbe al momento
Scusa sono un po' fuso! Ora ho capito da dove arrivava la tua proposta
come rientro a casa provo a farne l'espansione in serie di Laurent! ma anche avere solamente i coefficienti $a_(-n)$ della serie mi soddisferebbe al momento
"ebol":
[quote="gugo82"]
il denominatore ha uno zero d'ordine \(2\times 2=4\) in \(\imath\ \pi (2n+1)\), ergo la funzione \(f\) ha un polo di ordine \(4\) in ognuno di tali punti.
Non capisco come si veda che il polo è di ordine $2*2=4$
[/quote]È cosa nota che se una funzione \(g(z)\) ha in \(z_0\) uno zero d'ordine \(m\), allora:
[*:3foo2dui] la funzione \(g^N(z)\) ha in \(z_0\) uno zero d'ordine \(mN\);
[/*:m:3foo2dui]
[*:3foo2dui] la funzione \(1/g(z)\) ha un polo d'ordine \(m\);
[/*:m:3foo2dui]
[*:3foo2dui] se la funzione \(h(z)\) non si annulla in \(z_0\), la funzione \(\frac{h(z)}{g(z)}\) ha un polo in \(z_0\) dello stesso ordine di \(1/g(z)\).[/*:m:3foo2dui][/list:u:3foo2dui]
Ne viene che la funzione \(f(z)\) ha in \(z=\imath\ \pi\ (2n+1)\) dei poli dello stesso ordine di \(1/(1+\cosh z)^2\); dato che \(1+\cosh z\) ha zeri d'ordine \(m=2\) in \(z=\imath\ \pi\ (2n+1)\), la funzione \((1+\cosh z)^2\) ha in tali punti degli zeri d'ordine \(2m=4\) (in questo caso è \(N=2\)) e dunque la funzione \(1/(1+\cosh z)^2\) ha in \(z=\imath\ \pi\ (2n+1)\) poli d'ordine \(4\).
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