Serie Laurent f(z)
Buongiorno a tutti!
facendo degli esercizi mi sono imbattuto in questa funzione di cui devo fare (come da titolo) una serie di Laurent intorno alla singolarità $z=i$:
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)$
Questa funzione dovrebbe: essere regolare a $z= \oo$ ed avere poli semplici in $z=+-i$ e $z=+-2i$.
solitamente per trovare lo sviluppo in serie di Laurent di altre funzioni (ad esempio $g= z/((z+1)(z+2))$ intorno a $z=-2$) procedevo con una sostituzione del tipo $u=z+z_0$, e con qualche calcolo mi ricavavo la serie... del tipo:
$g= z/((z+1)(z+2))=\phi (u) = (u-2)/((u-1)u)=(2-u)/(u)*x17(1-u)=(2-u)/(u)*x(1+u+u^2)= ...$ sino ad ottenere la serie.
Ma per
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)=(z^2)/((z^2+1)(z^2+4))=(z^2)/((z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i))$ non riesco a trovare una sostituzione adeguata o un modo alternativo. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille anticipatamente
intanto continuo a provare!
facendo degli esercizi mi sono imbattuto in questa funzione di cui devo fare (come da titolo) una serie di Laurent intorno alla singolarità $z=i$:
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)$
Questa funzione dovrebbe: essere regolare a $z= \oo$ ed avere poli semplici in $z=+-i$ e $z=+-2i$.
solitamente per trovare lo sviluppo in serie di Laurent di altre funzioni (ad esempio $g= z/((z+1)(z+2))$ intorno a $z=-2$) procedevo con una sostituzione del tipo $u=z+z_0$, e con qualche calcolo mi ricavavo la serie... del tipo:
$g= z/((z+1)(z+2))=\phi (u) = (u-2)/((u-1)u)=(2-u)/(u)*x17(1-u)=(2-u)/(u)*x(1+u+u^2)= ...$ sino ad ottenere la serie.
Ma per
$f(z)=(z^2)/(z^4+5z^2+4)=(z^2)/((z^2+1)(z^2+4))=(z^2)/((z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i))$ non riesco a trovare una sostituzione adeguata o un modo alternativo. Qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille anticipatamente
intanto continuo a provare!
Risposte
$[f(z)=z^2/(z^4+5z^2+4)] rarr [f(z)=z^2/((z^2+1)(z^2+4))] rarr [f(z)=z^2/((z+2i)(z+i)(z-i)(z-2i))]$
$[f(z)=A/(z+2i)+B/(z+i)+C/(z-i)+D/(z-2i)]$
$[A=lim_(z->-2i)(z+2i)f(z)=lim_(z->-2i)z^2/((z+i)(z-i)(z-2i))=i/3]$
$[B=lim_(z->-i)(z+i)f(z)=lim_(z->-i)z^2/((z+2i)(z-i)(z-2i))=-i/6]$
$[C=lim_(z->i)(z-i)f(z)=lim_(z->i)z^2/((z+2i)(z+i)(z-2i))=i/6]$
$[D=lim_(z->2i)(z-2i)f(z)=lim_(z->2i)z^2/((z+2i)(z+i)(z-i))=-i/3]$
$[f(z)=(i/3)/(z+2i)+(-i/6)/(z+i)+(i/6)/(z-i)+(-i/3)/(z-2i)]$
$[0<=|(z-i)/(-3i)|<1] rarr [0<=|z-i|<3] rarr [(i/3)/(z+2i)=(i/3)/(3i+z-i)=(i/3)/(3i(1+(z-i)/(3i)))=1/9*1/(1-(z-i)/(-3i))=...]$
$[0<=|(z-i)/(-2i)|<1] rarr [0<=|z-i|<2] rarr [(-i/6)/(z+i)=(-i/6)/(2i+z-i)=(-i/6)/(2i(1+(z-i)/(2i)))=-1/12*1/(1-(z-i)/(-2i))=...]$
$[0<=|(z-i)/i|<1] rarr [0<=|z-i|<1] rarr [(-i/3)/(z-2i)=(-i/3)/(-i+z-i)=(-i/3)/(-i(1+(z-i)/(-i)))=1/3*1/(1-(z-i)/i)=...]$
$0<=|z-i|<1 rarr f(z)=(i/6)/(z-i)+\sum_{n=0}^oo[1/(9(-3i)^n)-1/(12(-2i)^n)+1/(3i^n)](z-i)^n$
$[f(z)=A/(z+2i)+B/(z+i)+C/(z-i)+D/(z-2i)]$
$[A=lim_(z->-2i)(z+2i)f(z)=lim_(z->-2i)z^2/((z+i)(z-i)(z-2i))=i/3]$
$[B=lim_(z->-i)(z+i)f(z)=lim_(z->-i)z^2/((z+2i)(z-i)(z-2i))=-i/6]$
$[C=lim_(z->i)(z-i)f(z)=lim_(z->i)z^2/((z+2i)(z+i)(z-2i))=i/6]$
$[D=lim_(z->2i)(z-2i)f(z)=lim_(z->2i)z^2/((z+2i)(z+i)(z-i))=-i/3]$
$[f(z)=(i/3)/(z+2i)+(-i/6)/(z+i)+(i/6)/(z-i)+(-i/3)/(z-2i)]$
$[0<=|(z-i)/(-3i)|<1] rarr [0<=|z-i|<3] rarr [(i/3)/(z+2i)=(i/3)/(3i+z-i)=(i/3)/(3i(1+(z-i)/(3i)))=1/9*1/(1-(z-i)/(-3i))=...]$
$[0<=|(z-i)/(-2i)|<1] rarr [0<=|z-i|<2] rarr [(-i/6)/(z+i)=(-i/6)/(2i+z-i)=(-i/6)/(2i(1+(z-i)/(2i)))=-1/12*1/(1-(z-i)/(-2i))=...]$
$[0<=|(z-i)/i|<1] rarr [0<=|z-i|<1] rarr [(-i/3)/(z-2i)=(-i/3)/(-i+z-i)=(-i/3)/(-i(1+(z-i)/(-i)))=1/3*1/(1-(z-i)/i)=...]$
$0<=|z-i|<1 rarr f(z)=(i/6)/(z-i)+\sum_{n=0}^oo[1/(9(-3i)^n)-1/(12(-2i)^n)+1/(3i^n)](z-i)^n$
Anzitutto grazie! 
Per il tempo che hai usato per rispondere e per la chiarezza dei passaggi.
Per quello che ho capito i coefficienti $A$, $B$, $C$, $D$, vengono calcolati con i residui ?!
Mentre le condizioni $[0<=|(z-i)/i|<1]$ sono quelle per cui si può sviluppare come una serie $1/(1-q)$ ?
Ancora Grazie!
Ora provo a farne una simile nel caso la posto.
Per il tempo che hai usato per rispondere e per la chiarezza dei passaggi.
Per quello che ho capito i coefficienti $A$, $B$, $C$, $D$, vengono calcolati con i residui ?!
Mentre le condizioni $[0<=|(z-i)/i|<1]$ sono quelle per cui si può sviluppare come una serie $1/(1-q)$ ?
Ancora Grazie!
Ora provo a farne una simile nel caso la posto.
"ebol":
Per quello che ho capito i coefficienti $A$, $B$, $C$, $D$, vengono calcolati con i residui?
Quando si hanno solo poli del primo ordine, scomponendo in fratti semplici, tutti i coefficienti incogniti possono essere calcolati come residui. Quindi, onde evitare calcoli inutili, basta applicare quella formula. Del resto:
$[f(z)=A/(z-z_0)+C_0+C_1(z-z_0)+...] rarr [(z-z_0)f(z)=A+C_0(z-z_0)+C_1(z-z_0)^2+...] rarr$
$[lim_(z->z_0)(z-z_0)f(z)=lim_(z->z_0)(A+C_0(z-z_0)+C_1(z-z_0)^2+...)=A]$
"ebol":
Mentre le condizioni $[0<=|(z-i)/i|<1]$ sono quelle per cui si può sviluppare come una serie $1/(1-q)$?
Quelle condizioni scaturiscono dal dominio di convergenza della rispettiva serie geometrica. Tuttavia, possono essere determinate anche geometricamente. Per esempio, quando si sviluppa $[(i/3)/(z+2i)]$ in $[z=i]$, avendo la frazione un punto singolare in $[z=-2i]$, lo sviluppo deve necessariamente incontrare dei problemi ad una distanza da $[z=i]$ pari alla distanza posseduta da $[z=-2i]$, $[d=3]$ per l'appunto. Come puoi notare, la corrispondente condizione dedotta dalla serie geometrica:
$[0<=|(z-i)/(-3i)|<1] rarr [0<=|z-i|<3]$
riflette completamente queste considerazioni di tipo geometrico. Quindi, anche come verifica, ti consiglio di guardare sempre le posizioni di tutti i punti singolari rispetto al centro dello sviluppo.
Grazie mille sei stato chiarissimo!
Mi chiedevo se seguendo un ragionamento analogo si potesse in caso di singolarità di ordine generico ricorrere alla stessa idea:
$f(z)=a_(-n)/(z-z_0)^n + a_(-n)/(z-z_0)^(n-1) + ... + a_0 + a_1 (z-z_0) + ...$
moltiplicando entrambi i membri per $(z-z_0)^n$ e facendone il limite così da trovare il coefficiente $a_-n$
Certo poi non troverei gli altri coefficienti negativi ($(a_(-n+1) , ... ,a_(-1))$)... era giusto una curiosità.
Penso di aver capito! In sostanza devo considerare la distanza tra la singolarità della funzione (il centro dello sviluppo) e la singolarità del termine che sto andando a sviluppare.
Un'ulteriore domanda, queste condizioni le abbiamo imposte per i $>=0$ cioè i termini di uno sviluppo i serie di Taylor.
Sono considerazioni valide per ogni sviluppo in serie di Taylor? O è meglio usarlo "solo" come verifica in presenza di sviluppi in serie analoghi?
Mi chiedevo se seguendo un ragionamento analogo si potesse in caso di singolarità di ordine generico ricorrere alla stessa idea:
$f(z)=a_(-n)/(z-z_0)^n + a_(-n)/(z-z_0)^(n-1) + ... + a_0 + a_1 (z-z_0) + ...$
moltiplicando entrambi i membri per $(z-z_0)^n$ e facendone il limite così da trovare il coefficiente $a_-n$
Certo poi non troverei gli altri coefficienti negativi ($(a_(-n+1) , ... ,a_(-1))$)... era giusto una curiosità.
"speculor":
Tuttavia, possono essere determinate anche geometricamente. Per esempio, quando si sviluppa $[(i/3)/(z+2i)]$ in $[z=i]$, avendo la frazione un punto singolare in $[z=-2i]$, lo sviluppo deve necessariamente incontrare dei problemi ad una distanza da $[z=i]$ pari alla distanza posseduta da $[z=-2i]$, $[d=3]$ per l'appunto. Come puoi notare, la corrispondente condizione dedotta dalla serie geometrica:
$[0<=|(z-i)/(-3i)|<1] rarr [0<=|z-i|<3]$
riflette completamente queste considerazioni di tipo geometrico. Quindi, anche come verifica, ti consiglio di guardare sempre le posizioni di tutti i punti singolari rispetto al centro dello sviluppo.
Penso di aver capito! In sostanza devo considerare la distanza tra la singolarità della funzione (il centro dello sviluppo) e la singolarità del termine che sto andando a sviluppare.
Un'ulteriore domanda, queste condizioni le abbiamo imposte per i $>=0$ cioè i termini di uno sviluppo i serie di Taylor.
Sono considerazioni valide per ogni sviluppo in serie di Taylor? O è meglio usarlo "solo" come verifica in presenza di sviluppi in serie analoghi?
"ebol":
Mi chiedevo se seguendo un ragionamento analogo si potesse in caso di singolarità di ordine generico ricorrere alla stessa idea:
$f(z)=a_(-n)/(z-z_0)^n+a_(-n+1)/(z-z_0)^(n-1)+ ... +a_0+a_1(z-z_0)+ ...$
moltiplicando entrambi i membri per $(z-z_0)^n$ e facendone il limite così da trovare il coefficiente $a_-n$
Certo poi non troverei gli altri coefficienti negativi ($(a_(-n+1) , ... ,a_(-1))$)... era giusto una curiosità.
Certamente. Quando:
$f(z)=a_(-n)/(z-z_0)^n+a_(-n+1)/(z-z_0)^(n-1)+ ... +a_0+a_1(z-z_0)+ ...$
allora:
$(z-z_0)^nf(z)=a_(-n)+a_(-n+1)(z-z_0)+ ... +a_0(z-z_0)^n+a_1(z-z_0)^(n+1)+ ...$
e il suo limite rende $[a_(-n)]$. Come si possono ricavare anche gli altri coefficienti? Basta notare che, ad ogni derivazione, scompare il termine costante già calcolato e si presenta il coefficiente incognito successivo privato della potenza del binomio $[z-z_0]$ corrispondente e moltiplicato per un coefficiente che tiene conto del numero di derivazioni eseguite, in pratica il prodotto degli esponenti decrescenti della potenza del binomio $[z-z_0]$. Facendo poi il limite, tutto il resto tende a zero, come nel caso che hai già visto. Tra l'altro, sto giustificando anche la formula che permette di calcolare il residuo di un polo di ordine generico mediante derivate successive. Immagino che tu sappia a quale formula mi sto riferendo, non è neppure più necessario impararla a memoria.
"ebol":
In sostanza devo considerare la distanza tra la singolarità della funzione (il centro dello sviluppo) e la singolarità del termine che sto andando a sviluppare.
Corretto.
"ebol":
Un'ulteriore domanda, queste condizioni le abbiamo imposte per i $>=0$ cioè i termini di uno sviluppo i serie di Taylor.
Sono considerazioni valide per ogni sviluppo in serie di Taylor? O è meglio usarlo "solo" come verifica in presenza di sviluppi in serie analoghi?
Non ho compreso la domanda.
A rigore, per completare l'esercizio, dovresti calcolare lo sviluppo in serie anche nei domini $1<|z-i|<2$, $2<|z-i|<3$ e $|z-i|>3$.
Ok, cerco di spiegarmi
Le stesse condizioni si son ricavate in 2 modi diversi: uno dalla serie geometrica, l'altra graficamente (o geometricamente). Supponendo di dover sviluppare una funzione qualsiasi in serie, le considerazioni geometriche posso sempre usarle come verifica giusto?
Si assolutamente il calcolo dei residui è abbastanza chiaro, per ora non ho avuto complicazioni.
Se posso volevo chiederti come operare su quest'altro sviluppo in serie di Laurent;
in realtà il problema è che non riesco a far vedere che in $z=i \pi$ la funzione ha una singolarità... e quindi in sostanza è anzitutto sui poli il problema
$f(z)=(sinh^2(z)-1)/(cosh^2(z)+2cosh(z)+1)$
La mia idea era risolvere l'equazione di secondo grado a denominatore; si trova
$cosh(z)=-1$ (se fossi sul campo reale non si verificherebbe mai questa condizione e potrei andar tranquillo);
ora non so se è rigoroso ma l'unica idea che ho avuto è stata sfruttare $cosh(x+iy)=cosh(z)$ e cercare di cavar fuori qualcosa dalle identità $cosh(iy)=cos(y)$, $sinh(iy)=isin(x)$ ecc...
Ma per ora nulla; credo ricorrerò agli esponenziali
Le stesse condizioni si son ricavate in 2 modi diversi: uno dalla serie geometrica, l'altra graficamente (o geometricamente). Supponendo di dover sviluppare una funzione qualsiasi in serie, le considerazioni geometriche posso sempre usarle come verifica giusto?
Tra l'altro, sto giustificando anche la formula che permette di calcolare il residuo di un polo di ordine generico mediante derivate successive. Immagino che tu sappia a quale formula mi sto riferendo, non è neppure più necessario impararla a memoria.
Si assolutamente
il calcolo dei residui è abbastanza chiaro, per ora non ho avuto complicazioni.Se posso volevo chiederti come operare su quest'altro sviluppo in serie di Laurent;
in realtà il problema è che non riesco a far vedere che in $z=i \pi$ la funzione ha una singolarità... e quindi in sostanza è anzitutto sui poli il problema
$f(z)=(sinh^2(z)-1)/(cosh^2(z)+2cosh(z)+1)$
La mia idea era risolvere l'equazione di secondo grado a denominatore; si trova
$cosh(z)=-1$ (se fossi sul campo reale non si verificherebbe mai questa condizione e potrei andar tranquillo);
ora non so se è rigoroso ma l'unica idea che ho avuto è stata sfruttare $cosh(x+iy)=cosh(z)$ e cercare di cavar fuori qualcosa dalle identità $cosh(iy)=cos(y)$, $sinh(iy)=isin(x)$ ecc...
Ma per ora nulla; credo ricorrerò agli esponenziali
Forse mi sto avvicinando alla soluzione... o forse no 
pensavo di vedere il mio $-1= e^(i \pi)$ dato dalla identità di Eulero... work in progress
pensavo di vedere il mio $-1= e^(i \pi)$ dato dalla identità di Eulero... work in progress
"ebol":
Le stesse condizioni si son ricavate in 2 modi diversi: uno dalla serie geometrica, l'altra graficamente (o geometricamente). Supponendo di dover sviluppare una funzione qualsiasi in serie, le considerazioni geometriche posso sempre usarle come verifica giusto?
Certamente. Inoltre:
$[coshz=(e^z+e^(-z))/2] rarr [(e^z+e^(-z))/2=-1] rarr [e^(2z)+2e^z+1=0] rarr [(e^z+1)^2=0] rarr$
$rarr [e^z+1=0] rarr [e^z=-1] rarr [e^z=e^(i(pi+2kpi))] rarr [z=i(pi+2kpi)]$
ah!! ho capito, moltiplico entrambi i membri per $e^z$ risolvo l'equazione di secondo grado (sempre in $e^z$) e trovo $z$
è un polo doppio se ho capito bene.
Ora provo a svilupparlo in serie di Laurent. Grazie mille!
è un polo doppio se ho capito bene.
Ora provo a svilupparlo in serie di Laurent. Grazie mille!
ecco la mia soluzione sperando sia corretta:
polo doppio per $z=i\pi +2k \pi$
serie di Laurent intorno a $z=i\pi$
$Res{f(z), z_0}= lim_(z->z_0) 1/(n!) (d^(n-1))/dz^(n-1)[f(z)*(z-z_0)^n] $
$Res{f(z), z_0}= lim_(z->z_0) 1/(2!) d/(dz)[sinh^2(z)-1] = lim_(z->z_0) 1/(2!)*(2sinh(z)cosh(z))=0=a_(-2)$
$Res{f(z), z_0}= lim_(z->z_0) [sinh^2(z)-1] = 1=a_(-2)$
i termini da $0$ a $oo$ son dati dalla serie di Taylor. Sfrutto la conoscenza dello sviluppo di
$sinh(z)=z+(z^3)/3! + (z^5)/5!+... = \sum_{0}^(oo) (z^(2n+1))/((2n+1)!)$
basta elevare tutto al quadrato e sottrarre per uno $\sum_{0}^(oo) ((z^(2n+1))/(2n+1)!)^2$
polo doppio per $z=i\pi +2k \pi$
serie di Laurent intorno a $z=i\pi$
$Res{f(z), z_0}= lim_(z->z_0) 1/(n!) (d^(n-1))/dz^(n-1)[f(z)*(z-z_0)^n] $
$Res{f(z), z_0}= lim_(z->z_0) 1/(2!) d/(dz)[sinh^2(z)-1] = lim_(z->z_0) 1/(2!)*(2sinh(z)cosh(z))=0=a_(-2)$
$Res{f(z), z_0}= lim_(z->z_0) [sinh^2(z)-1] = 1=a_(-2)$
i termini da $0$ a $oo$ son dati dalla serie di Taylor. Sfrutto la conoscenza dello sviluppo di
$sinh(z)=z+(z^3)/3! + (z^5)/5!+... = \sum_{0}^(oo) (z^(2n+1))/((2n+1)!)$
basta elevare tutto al quadrato e sottrarre per uno $\sum_{0}^(oo) ((z^(2n+1))/(2n+1)!)^2$
$f(z)=(sinhz-1)/(cosh^2z+2coshz+1)$
Non capisco come stai procedendo. Intanto, i coefficienti da determinare sono due. Inoltre, non puoi non tener conto del denominatore. Si tratta di calcolare questi due limiti:
$a_(-2)=lim_(z->ipi)(z-ipi)^2f(z)=lim_(z->ipi)((z-ipi)^2(sinhz-1))/(cosh^2z+2coshz+1)$
$a_(-1)=lim_(z->ipi)d/dz[(z-ipi)^2f(z)]=lim_(z->ipi)d/dz[((z-ipi)^2(sinhz-1))/(cosh^2z+2coshz+1)]$
Non è detto che non convenga passare prima agli esponenziali.
Non capisco come stai procedendo. Intanto, i coefficienti da determinare sono due. Inoltre, non puoi non tener conto del denominatore. Si tratta di calcolare questi due limiti:
$a_(-2)=lim_(z->ipi)(z-ipi)^2f(z)=lim_(z->ipi)((z-ipi)^2(sinhz-1))/(cosh^2z+2coshz+1)$
$a_(-1)=lim_(z->ipi)d/dz[(z-ipi)^2f(z)]=lim_(z->ipi)d/dz[((z-ipi)^2(sinhz-1))/(cosh^2z+2coshz+1)]$
Non è detto che non convenga passare prima agli esponenziali.
devo aver fatto un pasticcio...
io pensavo di scrivere la funzione così:
$f(z)=(sinh^2(z)-1)/(z-i\pi)^2$
ma probabilmente è una cavolata
io pensavo di scrivere la funzione così:
$f(z)=(sinh^2(z)-1)/(z-i\pi)^2$
ma probabilmente è una cavolata
rifaccio tutto passando agli esponenziali come mi suggerisci... mi son fatto prendere dalla fretta e non ho ragionato
Tra l'altro, mi sembra che $[z=ipi]$ sia un polo di ordine $[4]$. Sei sicuro che devi fare anche lo sviluppo? Dove hai trovato questo esercizio?
di ordine 4?? mmm
L'esercizio l'ho trovato nel testo di un compito di esame (metodi matematici per la fisica) proposto l'anno accademico scorso.
io pensavo fosse di ordine 2 dato che abbiamo a che fare con un $cosh^2$
L'esercizio l'ho trovato nel testo di un compito di esame (metodi matematici per la fisica) proposto l'anno accademico scorso.
io pensavo fosse di ordine 2 dato che abbiamo a che fare con un $cosh^2$
Ok, ma quando trasformi in esponenziali hai ancora una radice di ordine $[2]$. Tra l'altro, se trasformi la funzione in esponenziali, mi sembra che al denominatore compaia $[(e^z+1)^4]$. Infatti, se non ho sbagliato i conti, dovresti ottenere $[f(z)=(2e^z(e^(2z)-2e^z-1))/(e^z+1)^4]$. Magari controlla.
non che influenzi qualcosa sul calcolo dei poli ma il $sinh$ è al quadrato a numeratore.
Ora il denominatore diventa$(cosh(z)+1)^2$
Ora anziché scrivere $lim ((z-i\pi)^2 *f(z))$ non sarebbe equivalente scrivere $lim ((cosh(z)+1)^2 *f(z))$ ?????
Ora il denominatore diventa$(cosh(z)+1)^2$
Ora anziché scrivere $lim ((z-i\pi)^2 *f(z))$ non sarebbe equivalente scrivere $lim ((cosh(z)+1)^2 *f(z))$ ?????
sostituendo brutalmente si avrebbe
$f(z)=(sinh^2(z) -1)/(cosh^2(z)+2cosh(z)+1) = (sinh^2(z) -1)/(cosh(z)+1)^2 = $
$$
$((e^(2z)-e^(-2z))/4-1)/((e^(2z)+e^(-2z))/4+1+e^(z)+e^(-z)) = (e^(2z)-e^(-2z)-6)/(e^(2z)+e^(-2z)+e^(z)+e^(-z)+4)$
altrimenti al denominatore avremmo semplicemente $(e^(z)+1)^2$... sto iniziando a fondere
$f(z)=(sinh^2(z) -1)/(cosh^2(z)+2cosh(z)+1) = (sinh^2(z) -1)/(cosh(z)+1)^2 = $
$$
$((e^(2z)-e^(-2z))/4-1)/((e^(2z)+e^(-2z))/4+1+e^(z)+e^(-z)) = (e^(2z)-e^(-2z)-6)/(e^(2z)+e^(-2z)+e^(z)+e^(-z)+4)$
altrimenti al denominatore avremmo semplicemente $(e^(z)+1)^2$... sto iniziando a fondere
Ok, avevo sbagliato il numeratore. Quindi:
$f(z)=(sinh^2z-1)/(cosh^2z+2coshz+1)$
In ogni modo, il polo dovrebbe essere di ordine $[4]$. La tua supposizione andrebbe comunque giustificata. Se l'esercizio richiedeva la serie, probabilmente esiste una qualche scorciatoia. Ti faccio sapere.
$f(z)=(sinh^2z-1)/(cosh^2z+2coshz+1)$
In ogni modo, il polo dovrebbe essere di ordine $[4]$. La tua supposizione andrebbe comunque giustificata. Se l'esercizio richiedeva la serie, probabilmente esiste una qualche scorciatoia. Ti faccio sapere.
Ok grazie! io ora mi dedico a qualche esercizio! Ancora grazie mille se ho news posto direttamente
se ho news posto direttamente
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