Serie insidiosa
Stabilire per quali $alpha > 0$ converge la seguente serie:
$sum_(n = 1)^(+oo)(ln(2^n + 7))/((3+n^2)^(alpha)ln^2(n + 3))$
$sum_(n = 1)^(+oo)(ln(2^n + 7))/((3+n^2)^(alpha)ln^2(n + 3))$
Risposte
Conviene semplificare con il confronto asintotico; $2^n+7$ è asintotico a $2^n$, così come $n+3$ è asintotico ad $n$, e $3+n^2$ è asintotico a $n^2$. La serie è quindi molto semplificata, e adesso dovrebbe essere più standard.
Ho fatto così ma non mi riesce proseguire...
Il termine generale diventa, a meno di fattori, $n^(1-2a)/(log^2(n))$. Il logaritmo dovrebbe pesare poco, prova ad usare il criterio di condensazione.
Non abbiamo fatto quel criterio. Usiamo per risolvere le serie:
-Confronti
-Mclaurin
-D'Alembert
-Convergenza assoluta
-Leibnitz
Avevo pensato in questo caso o ad un confronto asintotico con $1/n^(beta)$ con beta da determinare, o ad usare MacLaurin per l'esponente minore di zero, solo devo ammettere che quel logaritmo al quadrato mi mette un pò in crisi...
-Confronti
-Mclaurin
-D'Alembert
-Convergenza assoluta
-Leibnitz
Avevo pensato in questo caso o ad un confronto asintotico con $1/n^(beta)$ con beta da determinare, o ad usare MacLaurin per l'esponente minore di zero, solo devo ammettere che quel logaritmo al quadrato mi mette un pò in crisi...
Allora prova McLaurin, ti riconduci allo studio della convergenza di un integrale improprio, nel quale ti conviene sostituire $log x=t$.
Fatto, grazie per la dritta. Se non erro, dovrebbe convergere per ogni $alpha > 0$, in quanto applicando Maclaurin e la serie che mi hai suggerito e ponendo $k = 2alpha-1$:
$int_1^(+oo)1/(x^kln^2x)dx = int_ln1^(+oo)(e^tdt)/(e^(tk)t^2) = 1/(e^k)int_ln1^(+oo)(dt)/(t^2)$
Ti torna il procedimento?
$int_1^(+oo)1/(x^kln^2x)dx = int_ln1^(+oo)(e^tdt)/(e^(tk)t^2) = 1/(e^k)int_ln1^(+oo)(dt)/(t^2)$
Ti torna il procedimento?
Allora, ci sono almeno 2 errori: anzitutto l'ultimo integrale che hai scritto non converge, perchè va da 0 a +inf, devi invece farlo partire da un numero strettamente positivo.
Poi, errore più grave, la semplificazione degli esponenziali: $e^t/e^(tk)=e^(t-tk)$, che è ben diverso da $e^(-k)$.
Poi, errore più grave, la semplificazione degli esponenziali: $e^t/e^(tk)=e^(t-tk)$, che è ben diverso da $e^(-k)$.
Si è vero è tutta la mattina che studio e sono KO... ora vado a pranzo poi se ho tempo mi ci rimetto...
Allora, riprendendo per mano il nostro integrale:
$int_(0)^(+oo)(e^(t-tk)dt)/(t^2) = (1-k)int_1^(+oo)(dz)/(ln^2z)$
$z = e^(t - tk)$
Si può dimostrare la divergenza dell'ultimo integrale, per parti.
A questo punto rimane la serie per $1-2alpha>=0$ che tramite confronto con l'armonica viene sempre divergente. Per ora, aspettando i miei inevitabili errori di calcolo
sembra che la nostra serie sia decisa a non convegere mai.
$int_(0)^(+oo)(e^(t-tk)dt)/(t^2) = (1-k)int_1^(+oo)(dz)/(ln^2z)$
$z = e^(t - tk)$
Si può dimostrare la divergenza dell'ultimo integrale, per parti.
A questo punto rimane la serie per $1-2alpha>=0$ che tramite confronto con l'armonica viene sempre divergente. Per ora, aspettando i miei inevitabili errori di calcolo
sembra che la nostra serie sia decisa a non convegere mai.
Non puoi far partire l'integrale da $0$, altrimenti è ovvio che diverga sempre, ma ciò non ti dà la divergenza della serie.
Devi invece farlo partire da un numero strettamente positivo, solo così la sua convergenza equivale a quella della serie.
Devi invece farlo partire da un numero strettamente positivo, solo così la sua convergenza equivale a quella della serie.
Dopo la sostituzione parte da 1...
Il primo integrale che hai scritto diverge per ogni $\alpha$, senza fare la sostituzione si vede.
Ma la convergenza della serie data non equivale alla convergenza dell'integrale che hai scritto, bensì alla convergenza della stessa integranda ma tra 1 (per esempio) e $+\infty$. E' l'estremo $+\infty$ che deve interessare.
Ma la convergenza della serie data non equivale alla convergenza dell'integrale che hai scritto, bensì alla convergenza della stessa integranda ma tra 1 (per esempio) e $+\infty$. E' l'estremo $+\infty$ che deve interessare.
Scusa ma non capisco... il teorema di McLaurin non afferma che, a determinare condizioni, la serie si comporta come l'integrale inproprio da 1 a +inf associato? Abbiamo riscontrato tali condizioni per l'argomento della serie (decrescente e infinitesimo) quindi la divergenza dell'integrale implica la divergenza della serie, no?
Appunto, integrale improprio da $1$ a $+\infty$, tu l'hai scritto da $0$ a $+\infty$, e quello diverge sempre.
Dopo la sostituzione è da 1 a +inf 
...
...
La sostituzione serve solo a studiare la convergenza dell'integrale, l'integrale vero la cui convergenza equivale alla convergenza della serie è quello iniziale, è su questo integrale che usi il criterio di MacLaurin, è questo l'integrale in cui la funzione integranda calcolata sui naturali ti fornisce il termine generale della serie. Quindi è questo integrale che deve partire a $1$, e non da $0$.
Il primo integrale in effetti parte da uno, poi faccio due sostituzioni (che forse manco ce n'era bisogno) e ottengo che l'integrale parte sempre da uno e diverge, e questo implica che quello iniziale, prima della sostituzione diverge anch'esso. Per McLaurin la serie diverge.
Nota bene: ho fatto due sostituzioni, non una... la prima con t e la seconda con z sono differenti...
Nota bene: ho fatto due sostituzioni, non una... la prima con t e la seconda con z sono differenti...
Per forza, il primo integrale quello vero equivalente alla serie non è mai stato scritto per bene. La serie è stata ricondotta alla serie
$sum_(n=2)^(+\infty)(n^(1-2\alpha))/(log^2(n))$;
$n$ non può partire da $1$ per tale serie, avendosi $log^2(n)$ al denominatore; comunque sia la convergenza di questa serie equivale alla convergenza della serie iniziale. Ne segue che l'integrale da cui partire, per applicare il criterio di MacLaurin è
$int_2^(+\infty)(x^(1-2\alpha))/(log^2(x))dx$.
$sum_(n=2)^(+\infty)(n^(1-2\alpha))/(log^2(n))$;
$n$ non può partire da $1$ per tale serie, avendosi $log^2(n)$ al denominatore; comunque sia la convergenza di questa serie equivale alla convergenza della serie iniziale. Ne segue che l'integrale da cui partire, per applicare il criterio di MacLaurin è
$int_2^(+\infty)(x^(1-2\alpha))/(log^2(x))dx$.
E diverge ugualmente, no? Parte sempre da una quantità strettamente positiva...
Dopo la prima sostituzione si ha
$int_(log 2)^(+\infty) (e^(t(1-2\alpha)))/(t^2)dt$;
se $1-2\alpha>0$ allora diverge, poichè un esponenziale positivo al numeratore ti fa esplodere qualunque potenza all'infinito. Se $1-2\alpha=0$ converge, essendo $1/t^2$, infine se $1-2\alpha<0$ allora converge ancora, avendosi un esponenziale negativo che finisce al denominatore e incrementa ulteriormente la potenza.
$int_(log 2)^(+\infty) (e^(t(1-2\alpha)))/(t^2)dt$;
se $1-2\alpha>0$ allora diverge, poichè un esponenziale positivo al numeratore ti fa esplodere qualunque potenza all'infinito. Se $1-2\alpha=0$ converge, essendo $1/t^2$, infine se $1-2\alpha<0$ allora converge ancora, avendosi un esponenziale negativo che finisce al denominatore e incrementa ulteriormente la potenza.
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