Serie impossibile

[totinaples]

$\sum_{n=1}^infty n^2(sqrt(1+1/n^5)-1)$
diciamo che le ho provate tutte...il limite della successione va a 0, usando il criterio dell'ordine dell'infinitesimo con grado -2....il limite viene dunque 0 ma il mio libro dice che se il grado è <1 allora il limite non può essere 0...aiuto

[Luc@s]

mmm....il criterio del rapporto?

[totinaples]

ma verrebbe na cosa enorme...scusa come faccio a sostituire n+1 a tutta quella roba?

[void1]

Altrimenti nota che $n^2(\sqrt(1+1/n^5)-1) = n^2(1/(2*n^5) + o(1/n^5)) \sim 1/(2*n^3)$ per $n \to +\infty$.

[Luc@s]

$\frac{\sum_{n=1}^infty (n+1)^2(sqrt(1+1/(n+1)^5)-1)}{\sum_{n=1}^infty n^2(sqrt(1+1/n^5)-1)}$

[totinaples]

e poi???? devo semplificare qualcosa o no?

[void1]

Usa il fatto che $\sqrt(1+1/n^5) = 1 + 1/(2*n^5) + o(1/n^5)$ per $n \to +\infty$.

[totinaples]

ok l' ho usato...la successione va a 0: condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la serie converga....come faccio a renderla sufficiente???

[void1]

Usa il criterio del confronto asintotico, confrontando la serie data con la serie armonica generalizzata.

[totinaples]

mmm...si, mi sa che così si può fare, quindi dovrebbe convergere!!!! Grazieeee!!!