Serie geometriche per teoria dei giochi
Ciao!
sto affrontando un modello di teoria dei giochi per studi di economia in cui sviluppo la dinamica collusiva di un gioco ripetuto infinite volte attraverso i fattori di sconto $\delta$ di tre giocatori.
supponendo un asta sequenziale di un contratto diviso in due lotti, lotto A e lotto B per ogni periodo $t=0,..., oo$.
i 3 giocatori colludono assegnando un lotto per ciascuno giocatore in questo modo:
in $t=0$ il lotto A al giocatore1 il lotto B al giocatore2, in $t=1$ il lotto A al giocatore3 il lotto B al giocatore1, in $t=2$ il lotto A al giocatore 2 il lotto B al giocatore 3 e cosi via all'infinito.
in particolare ho difficoltà a svolgere la loro serie geometrica: chiamando v il profitto che si ottiene da ciascun lotto, e considerando come esempio il giocatore 1 che prende per primo,
$text(giocatore 1) = v\delta + v\delta + 0 + v\delta^3 + v\delta^4 + 0 + v\delta^6 + v\delta^7 + 0 +...$
qualcuno che mi aiuta please??!
grazie ragazzi
ps: spero che la sintassi latex si apparsa correttamente con $\delta = text(fattore di sconto)$, quindi $v\delta$ è “$v$ moltiplicato $delta$”.
sto affrontando un modello di teoria dei giochi per studi di economia in cui sviluppo la dinamica collusiva di un gioco ripetuto infinite volte attraverso i fattori di sconto $\delta$ di tre giocatori.
supponendo un asta sequenziale di un contratto diviso in due lotti, lotto A e lotto B per ogni periodo $t=0,..., oo$.
i 3 giocatori colludono assegnando un lotto per ciascuno giocatore in questo modo:
in $t=0$ il lotto A al giocatore1 il lotto B al giocatore2, in $t=1$ il lotto A al giocatore3 il lotto B al giocatore1, in $t=2$ il lotto A al giocatore 2 il lotto B al giocatore 3 e cosi via all'infinito.
in particolare ho difficoltà a svolgere la loro serie geometrica: chiamando v il profitto che si ottiene da ciascun lotto, e considerando come esempio il giocatore 1 che prende per primo,
$text(giocatore 1) = v\delta + v\delta + 0 + v\delta^3 + v\delta^4 + 0 + v\delta^6 + v\delta^7 + 0 +...$
qualcuno che mi aiuta please??!
grazie ragazzi
ps: spero che la sintassi latex si apparsa correttamente con $\delta = text(fattore di sconto)$, quindi $v\delta$ è “$v$ moltiplicato $delta$”.
Risposte
Per prima cosa: sei sicuro che il primo addendo sia $vdelta$? Non è che è $(vdelta)^0=1$?
Per seconda: la serie converge e lo fa assolutamente se $|delta |<1$; ricordato che le serie assolutamente convergenti si possono sommare come meglio si vuole, possiamo associare gli addendi con esponente che diviso per $3$ dà resto $1$ e calcoliamo:
$vdelta + v delta^4 + v delta^7 + ... = v\ sum_(n=0)^(oo) delta^(3n+1) = vdelta\ sum_(n=0)^(oo) (delta^3)^n = (v delta)/(1-delta^3)$
Analogamente si calcola la somma delle altre potenze.
Per seconda: la serie converge e lo fa assolutamente se $|delta |<1$; ricordato che le serie assolutamente convergenti si possono sommare come meglio si vuole, possiamo associare gli addendi con esponente che diviso per $3$ dà resto $1$ e calcoliamo:
$vdelta + v delta^4 + v delta^7 + ... = v\ sum_(n=0)^(oo) delta^(3n+1) = vdelta\ sum_(n=0)^(oo) (delta^3)^n = (v delta)/(1-delta^3)$
Analogamente si calcola la somma delle altre potenze.
ciao gugo82, grazie della tua risposta.
certo il primo addendo è semplicemente v. refuso di testo.
sei stato di grande aiuto! speriamo possa utilizzarla a meglio per far funzionare il tutto!
certo il primo addendo è semplicemente v. refuso di testo.
sei stato di grande aiuto! speriamo possa utilizzarla a meglio per far funzionare il tutto!
gugo82,
se interpreto correttamente per gli esponenti dispari ho:
v + v\delta^3 + x\delta^6 + ... = v \div (1 -\delta^3)
allora tutta la serie con entrambi gli esponenti pari e dispari è
= v \div (1 -\delta^3) + (v\delta) \div (1 - \delta^3) ????
se interpreto correttamente per gli esponenti dispari ho:
v + v\delta^3 + x\delta^6 + ... = v \div (1 -\delta^3)
allora tutta la serie con entrambi gli esponenti pari e dispari è
= v \div (1 -\delta^3) + (v\delta) \div (1 - \delta^3) ????
Ciao marco_93Direct,
Benvenuto sul forum!
Ci provo...
Assodato l'errore nel primo termine, supponiamo che sia:
$ text(giocatore 1) = v + v\delta + 0 + v\delta^3 + v\delta^4 + 0 + v\delta^6 + v\delta^7 + 0 + ... = $
$ = v \sum_{n = 0}^{+\infty} \delta^n - v \sum_{n = 1}^{+\infty} \delta^{3n - 1} = \frac{v}{1 - \delta} - v \frac{\delta^2}{1 - \delta^3} = v[\frac{1}{1 - \delta} - \frac{\delta^2}{1 - \delta^3}] = $
$ = v[\frac{1}{1 - \delta} - \frac{\delta^2}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)}] = v[\frac{1 +\delta + \delta^2 - \delta^2}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)}] = $
$ = v \frac{1 + \delta}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)} $
Tutto quanto sopra naturalmente posto che sia $|\delta| < 1 $
Benvenuto sul forum!
Ci provo...
Assodato l'errore nel primo termine, supponiamo che sia:
$ text(giocatore 1) = v + v\delta + 0 + v\delta^3 + v\delta^4 + 0 + v\delta^6 + v\delta^7 + 0 + ... = $
$ = v \sum_{n = 0}^{+\infty} \delta^n - v \sum_{n = 1}^{+\infty} \delta^{3n - 1} = \frac{v}{1 - \delta} - v \frac{\delta^2}{1 - \delta^3} = v[\frac{1}{1 - \delta} - \frac{\delta^2}{1 - \delta^3}] = $
$ = v[\frac{1}{1 - \delta} - \frac{\delta^2}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)}] = v[\frac{1 +\delta + \delta^2 - \delta^2}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)}] = $
$ = v \frac{1 + \delta}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)} $
Tutto quanto sopra naturalmente posto che sia $|\delta| < 1 $
ciao pilloeffe,
grazie dell'accoglienza.
mi spiegheresti il senso del segno meno tra le due sommatorie?
se distinguiamo gli esponenti pari dai dispari, non avremmo sempre il denominatore = 1 - \delta^3 ?
v + v\delta^3 + v\delta^6 + ... = v (1 + \delta^3 + \delta^6 + ...) = \frac{v} {1 -\delta^3}
v\delta + v\delta^4 + v\delta^7 + ... = v\delta (1 + \delta^3 + \delta^6 +...) = \frac{v\delta}{1-\delta^3}
ps: di nuovo spero di aver usato correttamente la sintassi LaTex
grazie dell'accoglienza.
mi spiegheresti il senso del segno meno tra le due sommatorie?
se distinguiamo gli esponenti pari dai dispari, non avremmo sempre il denominatore = 1 - \delta^3 ?
v + v\delta^3 + v\delta^6 + ... = v (1 + \delta^3 + \delta^6 + ...) = \frac{v} {1 -\delta^3}
v\delta + v\delta^4 + v\delta^7 + ... = v\delta (1 + \delta^3 + \delta^6 +...) = \frac{v\delta}{1-\delta^3}
ps: di nuovo spero di aver usato correttamente la sintassi LaTex
@marco_93Direct: La sintassi è corretta, ma devi racchiudere le formule tra i delimitatori appropriati.
Ad esempio:
produce una formula "in corpo" (cioè nelle righe del testo), mentre:
una formula "fuori corpo".
Ad esempio:
\( formula \)
produce una formula "in corpo" (cioè nelle righe del testo), mentre:
\[ formula \]
una formula "fuori corpo".
"marco_93Direct":
grazie dell'accoglienza.
Prego!
"marco_93Direct":
mi spiegheresti il senso del segno meno tra le due sommatorie?
Beh, l'idea era quella di togliere dalla serie geometrica completa i termini "mancanti", cioè quelli con le potenze $2$, $5$, $8$, $11$, ... che sono a distanza $3$ l'uno dall'altro, ecco la ragione del termine $\delta^{3n - 1} $, $ n \in \NN_{> 0} $
Il conto torna anche procedendo con il calcolo nel senso che ti ho indicato io.
Infatti, hai:
\[
v+v\delta^3 +v\delta^6 +\cdots = v\ \sum_{n=0}^{\infty} (\delta^3)^n = v\ \frac{1}{1-\delta^3}\]
dunque la somma della tua serie è:
\[
\frac{v}{1-\delta^3} + \frac{v\delta}{1-\delta^3} = \frac{v (1+\delta)}{1-\delta^3}
\]
Infatti, hai:
\[
v+v\delta^3 +v\delta^6 +\cdots = v\ \sum_{n=0}^{\infty} (\delta^3)^n = v\ \frac{1}{1-\delta^3}\]
dunque la somma della tua serie è:
\[
\frac{v}{1-\delta^3} + \frac{v\delta}{1-\delta^3} = \frac{v (1+\delta)}{1-\delta^3}
\]
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