Serie Geometriche
Ciao ragazzi, ho da farvi alcune domande.
Sto studiando le serie ma alcune cose non mi sono chiare sulle serie geometriche...
Sappiamo che facendo il limite per n -> infinito di Sn si possono avere tre casi:
1)La serie geometrica converge se |h|<1;
2)La serie geometrica diverge positivamente se h>=1;
3)La serie geometrica è oscillante o indeterminata per h<=-1:
Le mie domande orano sono:
1)Perché se h=1 la serie geometrica diverge? Non si dovrebbe avere una forma indeterminata 0/0?
2)Perché per h<=-1 sia ha che la serie geometrica è oscillante?
3)Ma le serie geometriche possono solo divergere positivamente e non negativamente?Perché sul libro ho trovato solo trattare la divergenza positiva, a differenze delle serie numeriche...
Attendo vostre risposte e suggerimenti.
GRAZIE 1000
Sto studiando le serie ma alcune cose non mi sono chiare sulle serie geometriche...
Sappiamo che facendo il limite per n -> infinito di Sn si possono avere tre casi:
1)La serie geometrica converge se |h|<1;
2)La serie geometrica diverge positivamente se h>=1;
3)La serie geometrica è oscillante o indeterminata per h<=-1:
Le mie domande orano sono:
1)Perché se h=1 la serie geometrica diverge? Non si dovrebbe avere una forma indeterminata 0/0?
2)Perché per h<=-1 sia ha che la serie geometrica è oscillante?
3)Ma le serie geometriche possono solo divergere positivamente e non negativamente?Perché sul libro ho trovato solo trattare la divergenza positiva, a differenze delle serie numeriche...
Attendo vostre risposte e suggerimenti.
GRAZIE 1000
Risposte
Le serie geometriche sono solo delle particolari serie numeriche, non le considerare cose distinte.
1) Scrivi per esteso $sum_{n=0}^infty 1^n=1+1+1+1+...+1+...$. Stai sommando infinite volte $1$. Che numero puoi pensare di ottenere? Più formalmente: detta $S_N=sum_{n=0}^N 1$, risulta che $S_N=1+1+1+...+1=N$. Calcola $lim_{N\to infty} N$.
2) Scrivi per esteso $sum_{n=0}^infty (-1)^n=1-1+1-1+1-1+...+1-1+...$. Vedi, ad ogni contributo positivo fa seguito uno negativo uguale in modulo. Consideriamo l'$N$-esima somma parziale: $S_N=sum_{n=0}^N(-1)^n$; calcoliamone esplicitamente i primi termini:
$S_0=1$
$S_1=1-1=0$
$S_2=1-1+1=1$
$S_3=1-1+1-1=0$
$vdots$
e da qui si capisce che
$S_N=1-1+1-1+...={(1, "se "N" è pari"), (0,"se "N" è dispari"):}$. Questa successione non è convergente né divergente, essa oscilla tra $1$ e $0$.
3) Giusto, la serie geometrica non può divergere negativamente. Il motivo di ciò sta nella familiare regola dei segni e dalla immediata conseguenza $(-1)^n={(1, n" pari"),(-1, n" dispari"):}$. Consideriamo il termine generale della serie geometrica di ragione $q$: si tratta di $q^n$. Per $q<0$ possiamo scrivere $q^n=(-1)^n(-q)^n$, dove $(-q)^n$ è positivo. Quel $(-1)^n$ invece cambia segno in continuazione: dalla regola dei segni otteniamo che $q^n$ cambia segno anch'essa. Questo non capita con $q>0$, nel quale $q^n$ si mantiene sempre positiva.
1) Scrivi per esteso $sum_{n=0}^infty 1^n=1+1+1+1+...+1+...$. Stai sommando infinite volte $1$. Che numero puoi pensare di ottenere? Più formalmente: detta $S_N=sum_{n=0}^N 1$, risulta che $S_N=1+1+1+...+1=N$. Calcola $lim_{N\to infty} N$.
2) Scrivi per esteso $sum_{n=0}^infty (-1)^n=1-1+1-1+1-1+...+1-1+...$. Vedi, ad ogni contributo positivo fa seguito uno negativo uguale in modulo. Consideriamo l'$N$-esima somma parziale: $S_N=sum_{n=0}^N(-1)^n$; calcoliamone esplicitamente i primi termini:
$S_0=1$
$S_1=1-1=0$
$S_2=1-1+1=1$
$S_3=1-1+1-1=0$
$vdots$
e da qui si capisce che
$S_N=1-1+1-1+...={(1, "se "N" è pari"), (0,"se "N" è dispari"):}$. Questa successione non è convergente né divergente, essa oscilla tra $1$ e $0$.
3) Giusto, la serie geometrica non può divergere negativamente. Il motivo di ciò sta nella familiare regola dei segni e dalla immediata conseguenza $(-1)^n={(1, n" pari"),(-1, n" dispari"):}$. Consideriamo il termine generale della serie geometrica di ragione $q$: si tratta di $q^n$. Per $q<0$ possiamo scrivere $q^n=(-1)^n(-q)^n$, dove $(-q)^n$ è positivo. Quel $(-1)^n$ invece cambia segno in continuazione: dalla regola dei segni otteniamo che $q^n$ cambia segno anch'essa. Questo non capita con $q>0$, nel quale $q^n$ si mantiene sempre positiva.
Lo ametto, non mi è chiara la differenza tra serie numerica e serie geometrica; al momento so soltatno che una parte dan=1 mentre quella geometrica parte da n=0.
Per quanto le serie scritte da te nel tuo messaggio, ce l'ho negli esempi delle serie numeriche...
A questo puunto non capisco...Una serie può essere studiata, cioè convergenza divergenza limite della somma pazrziale n-ma ecc..., sia come serie numerica che geometrica?
Per quanto le serie scritte da te nel tuo messaggio, ce l'ho negli esempi delle serie numeriche...
A questo puunto non capisco...Una serie può essere studiata, cioè convergenza divergenza limite della somma pazrziale n-ma ecc..., sia come serie numerica che geometrica?
Caro Vincy, urge una buona rilettura della definizione di serie numerica. Hai le idee troppo confuse sui concetti fondamentali. Consiglio di prendere un buon libro e leggere almeno il primo paragrafo del capitolo relativo alle serie.
Ciao Vincy, c'è un motivo per cui la serie geometrica dà quei precisi risultati.
Partiamo dalla serie geometrica: $sum_(n = 0)^(+oo) (q^n)$
Osserva che:
$AA n in N$ $:$ $s_n= 1 + q + q^2 +...+q^n$ (1)
dove $s_n$ è la somma parziale n-esima.
Moltiplichiamo 1° e 2° membro per $q$, così da ottenere:
$q*s_n = q + q^2 + q^3 +...+q^(n+1)$ (2)
Se sottraiamo membro a membro la (1) con la (2), risulta:
$(1-q)*(s_n)= 1 - q^(n+1)$
Quindi con $1-q !=0$, cioè $q!=1$ * , trovo che:
$s_n= ( 1 - q^(n+1))/(1-q)$
Ora, dovresti sapere, che per conoscere il carattere della serie, bisogna studiare il limite di $s_n$, quindi:
$lim_n (s_n)$ $=$ $lim_n (( 1 - q^(n+1))/(1-q))$
Per comodità studiamoci, a parte, il $lim_n (q^(n+1))$:
Esso vale:
$1$ se $|q|<1$
$oo$ se $q>1$
non esiste se $q=-1$
non esiste se $q<1$
Quindi, ritornando al limite di partenza, è facile concludere che:
$lim_n (( 1 - q^(n+1))/(1-q)) =$
■ $ ( 1/(1-q))$ se $|q|<1$
■ $+oo$ se $q>1$
■ non esiste se $q<=-1$
che sono i risultati della serie $sum_(n = 0)^(+oo) (q^n)$.
Tutto questo, solo per dimostrarti che c'è una ragione molto precisa,a quei risultati.
D'altronde, nello studio di una serie, se riesci a condurti ad una serie geometrica,puoi ritenerti fortunato,poichè riuscirai a concludere non solo sul carattere della serie (convergente, divergente, indeterminata), ma, in caso di convergenza, puoi anche dire facilmente quanto vale la somma (cioè $( 1/(1-q))$).
Quindi puoi sapere tutto sulla serie in questione.
Comunque anch'io ti consiglio di studiarti almeno i concetti base delle serie numeriche (carattere della serie, somma parziale), prima di studiare la serie geometrica, che comunque richiede, come avrai ben notato, poche conoscenze, ma buone.
____________________________________________________
* Se $q=1 rArr sum_(n = 0)^(+oo) (1^n) = +oo$
Partiamo dalla serie geometrica: $sum_(n = 0)^(+oo) (q^n)$
Osserva che:
$AA n in N$ $:$ $s_n= 1 + q + q^2 +...+q^n$ (1)
dove $s_n$ è la somma parziale n-esima.
Moltiplichiamo 1° e 2° membro per $q$, così da ottenere:
$q*s_n = q + q^2 + q^3 +...+q^(n+1)$ (2)
Se sottraiamo membro a membro la (1) con la (2), risulta:
$(1-q)*(s_n)= 1 - q^(n+1)$
Quindi con $1-q !=0$, cioè $q!=1$ * , trovo che:
$s_n= ( 1 - q^(n+1))/(1-q)$
Ora, dovresti sapere, che per conoscere il carattere della serie, bisogna studiare il limite di $s_n$, quindi:
$lim_n (s_n)$ $=$ $lim_n (( 1 - q^(n+1))/(1-q))$
Per comodità studiamoci, a parte, il $lim_n (q^(n+1))$:
Esso vale:
$1$ se $|q|<1$
$oo$ se $q>1$
non esiste se $q=-1$
non esiste se $q<1$
Quindi, ritornando al limite di partenza, è facile concludere che:
$lim_n (( 1 - q^(n+1))/(1-q)) =$
■ $ ( 1/(1-q))$ se $|q|<1$
■ $+oo$ se $q>1$
■ non esiste se $q<=-1$
che sono i risultati della serie $sum_(n = 0)^(+oo) (q^n)$.
Tutto questo, solo per dimostrarti che c'è una ragione molto precisa,a quei risultati.
D'altronde, nello studio di una serie, se riesci a condurti ad una serie geometrica,puoi ritenerti fortunato,poichè riuscirai a concludere non solo sul carattere della serie (convergente, divergente, indeterminata), ma, in caso di convergenza, puoi anche dire facilmente quanto vale la somma (cioè $( 1/(1-q))$).
Quindi puoi sapere tutto sulla serie in questione.
Comunque anch'io ti consiglio di studiarti almeno i concetti base delle serie numeriche (carattere della serie, somma parziale), prima di studiare la serie geometrica, che comunque richiede, come avrai ben notato, poche conoscenze, ma buone.
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* Se $q=1 rArr sum_(n = 0)^(+oo) (1^n) = +oo$
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