Serie geometrica troncata

[salvo20081]

Ho scritto la seguente che ha fatto il professore a lezione ma non capisco come passare da un punto all'altro

$sum_{\tau=1}^(M-1)\alpha^(-\tau*k)=\alpha^-k*(1-\alpha^(-(M-1)k))/(1-alpha^(-k))=(alpha^(-k)-alpha^(-M))/(1-alpha^(-k))$

Grazie

[alberto.chiarini]

Siamo di fronte ad una serie geometrica, si ha, in generale, che

$\sum_{tau=1}^{N}\x^\tau=x*(1-x^(N))/(1-x)

infatti

$x*(1-x^(N))/(1-x)=x+x^2+...+x^N

Nel tuo esercizio il professore ha posto

$x=\alpha^-k

per l'ultimo membro dell'uguaglianza ha semplicemente moltiplicato.

[salvo20081]

Non capisco come ottiene il numeratore del terzo termine non mi viene quel valore

[alberto.chiarini]

$\alpha^-k*(1-\alpha^(-(M-1)k))=\alpha^-k-\alpha^-k\alpha^(-(M-1)k)=\alpha^-k-\alpha^(-(M-1)k-k)=\alpha^-k-\alpha^(-Mk+k-k)=\alpha^-k-\alpha^(-Mk)

quindi credo che il professore, e pure io, abbia avuto una svista.

l'ultimo membro infatti viene

$(\alpha^-k-\alpha^(-Mk))/(1-\alpha^-k)

[salvo20081]

Qui c'è la dimostrazione che riporta pure il libro.
Mi sa che non si tratta di un errore
http://img262.imageshack.us/my.php?image=bookje3.png

[alberto.chiarini]

allora c'è qualcosa che mi sfugge, perchè facendo brutalmente i conti vien quello che ho postato.