Serie geometrica finita

[abe989898]

Buongiorno, ho un problema con un serie geometrica finita e mi sto perdendo.
Si tratta della formula di ACHARD per il calcolo del T.I.R, ma il problema è puramente matematico di calcolo almeno credo.

Questa è la formula:

$\sum_{k=1}^(n*m) c^(m)/(1+y)^(k/m) + VF*(1+y)^-n = c^(m) [1/(1+y)^(1/m)+1/(1+y)^(2/m)+1/(1+y)^(n)]+VF*(1+y)^-n$

Tutto questo lo si può riscrivere con le proprietà delle potenze come:

$c^(m) [(1+y)^(-1/m)+(1+y)^(-2/m)+(1+y)^(-n)]+VF*(1+y)^-n$

Adesso il professore a posto $q=(1+y)^(-1/m)$ da cui:

$c^(m) [(q^(-1)+q^(-2)+q^(-n*m)]+VF*(1+y)^-n$

Quella li è una serie geometrica finita di ragione $q=(1+y)^(-1/m)$ e non riesco a capire come si fa questa serie geometrica:

$c^(m) *q *[(1-q^(n*m))/(1-q)]+VF*(1+y)^-n$

Adesso chiedo è corretta svolgerla così? o sbaglio qualcosa?

[pilloeffe]

Ciao albertocorra,

Secondo me ti sei dimenticato dei puntini, cioè la formula corretta è la seguente:

$ \sum_{k=1}^(n \cdot m) c^(m)/(1+y)^(k/m) + VF\cdot (1+y)^-n = c^(m) [1/(1+y)^(1/m)+1/(1+y)^(2/m) + ... + 1/(1+y)^(n)] + VF \cdot (1+y)^-n $

Detto ciò, quello che ti serve è la somma di una progressione geometrica che però non parte da $0 $ ma da $1 $ e si può dimostrare (se hai dei dubbi poi lo dimostriamo) che per $q \ne 1 $ si ha:
\begin{equation*}
\boxed{q^j + q^{j + 1} + \dots + q^{p - 1} + q^p = \sum_{k=j}^{p} q^k = \frac{q^j - q^{p + 1}}{1 - q}}
\end{equation*}
Per $j = 0$ si ritrova la consueta somma della progressione geometrica che parte da $ 0 $: $ \sum_{k=0}^{p} q^k = \frac{1 - q^{p + 1}}{1 - q} $
Nel tuo caso si ha $j = 1 $, $q = (1+y)^(-1/m) $ e $p = m \cdot n $ ed il gioco è fatto...