Serie geometrica e sue derivate
Ciao a tutti, qualcuno mi può dare una mano con le serie geometriche e le sue derivate? Una serie geometrica di ragione q converge ad un valore pari a 1/1-q se il modulo di q è minore di uno! se io ho invece la derivata, prima supponiamo, a quale valore converge la serie? qualcuno potrebbe indicarmi un link con pdf o appunti che spieghino queste serie? grazie!
Risposte
Non ho capito il tuo dubbio.
in un esercizio ho trovato una serie geometrica la cui funzione era la derivata prima di una serie geometrica per cui l'esercizio veniva risolto come serie che convergeva a 1/(1-q)^2...con q ragione della serie, perché?
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}
\]
\[
\frac{d}{dn}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]=\frac{1}{(1-x)^{2}}
\]
Quindi
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}
\]
\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}
\]
\[
\frac{d}{dn}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\right]=\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]=\frac{1}{(1-x)^{2}}
\]
Quindi
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}
\]
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