Serie geometrica e convergenza uniforme
Ciao a tutti, ho un problema con una stima di una serie. Quello che devo fare è dimostrare che la serie converge e poi fare vedere che, se $\beta$>>1, la posso stimare con un valore arbitrariamente piccolo. La serie in questione è:
$\sum_{k=0}^{\infty} 3^{k} k^{2} e^{-2\beta J k}$ dove J>0. Per dimostrare la convergenza ho pensato di fare così:
$3^{k} k^{2} e^{-2\beta J k} = e^{-2\beta J k + k log3} k^{2} \leq e^{-2\beta J k + k log3} = (e^{-2\beta J + log3})^{k}$ da cui la serie precedente converge se e solo se converge $\sum_{k=0} (e^{-2\beta J + log3})^{k}$ che è una serie geometrica di ragione $q=e^{-2\beta J + log3}$ e quindi converge se |q|<1. Per quanto riguarda il calcolo vero e proprio della serie ho invece difficoltà. Ho pensato che praticamente ho a che fare con una serie del tipo:
$\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k}$, ma come faccio a stimare una serie di questo tipo?
$\sum_{k=0}^{\infty} 3^{k} k^{2} e^{-2\beta J k}$ dove J>0. Per dimostrare la convergenza ho pensato di fare così:
$3^{k} k^{2} e^{-2\beta J k} = e^{-2\beta J k + k log3} k^{2} \leq e^{-2\beta J k + k log3} = (e^{-2\beta J + log3})^{k}$ da cui la serie precedente converge se e solo se converge $\sum_{k=0} (e^{-2\beta J + log3})^{k}$ che è una serie geometrica di ragione $q=e^{-2\beta J + log3}$ e quindi converge se |q|<1. Per quanto riguarda il calcolo vero e proprio della serie ho invece difficoltà. Ho pensato che praticamente ho a che fare con una serie del tipo:
$\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k}$, ma come faccio a stimare una serie di questo tipo?
Risposte
Nel tuo caso siamo nelle ipotesi giuste per poter scrivere $sum_(k=0)*ook^2q^k=sum_(k=1)^(+oo)[((k+2)(k+1)-3k-2]q^k]=sum_(k=1)^(+oo)(k+2)(k+1)q^k-3sum_(k=1)^(+oo)kq^k-2sum_(k=1)^(+oo)q^k$ e per,
alla fine del calcolo dei primi due addendi,affermare come essi siano calcolabili derivando,rispettivamente,
due volte l'uguaglianza $sum_(k=1)^(+oo)q^(k+2)=(q^2sum_(k=1)^(+oo)q^k=q^2 q/(1-q)=)(q^3)/(1-q)$ ed una volta l'uguaglianza $sum_(k=1)^(+oo)q^k=q/(1-q)$
(in quest'ultimo caso dovrai poi,naturalmente,moltiplicare entrambi i membri della nuova uguaglianza per $q$,
se vuoi ottenere quanto t'occorre..):
saluti dal web.
alla fine del calcolo dei primi due addendi,affermare come essi siano calcolabili derivando,rispettivamente,
due volte l'uguaglianza $sum_(k=1)^(+oo)q^(k+2)=(q^2sum_(k=1)^(+oo)q^k=q^2 q/(1-q)=)(q^3)/(1-q)$ ed una volta l'uguaglianza $sum_(k=1)^(+oo)q^k=q/(1-q)$
(in quest'ultimo caso dovrai poi,naturalmente,moltiplicare entrambi i membri della nuova uguaglianza per $q$,
se vuoi ottenere quanto t'occorre..):
saluti dal web.
Grazie della risposta ma penso di non avere capito: una volta sviluppata la somma in $\sum_{k=1}^{\infty} (k+2)(k+1)q^{k} - 3 \sum k q^{k}$ -... come faccio a calcolare queste prime due serie?
Ti ripeto,per fartela breve,che sei nelle ipotesi adatte a scrivere,ad esempio,come
$sum_(k=1)^(+oo)q^(k+2)=(q^3)/(1-q)rArrsum_(k=1)^(+oo)("d"^2q^(k+2))/("d"q^2)=D(D(q^3)/(1-q))$:
l'altro addendo lo ottieni in modo analogo,
ed altrettanto lecito
(con una derivazione in meno,
ma una moltiplicazione per $q$ in più,
di ambo i membri dell'uguaglianza che otterrai derivando quella suggerita nel mio post precedente..)!
Saluti dal web.
P.S.M'accorgo solo ora che sei nuovo di queste parti:
benvenuto,naturalmente!
$sum_(k=1)^(+oo)q^(k+2)=(q^3)/(1-q)rArrsum_(k=1)^(+oo)("d"^2q^(k+2))/("d"q^2)=D(D(q^3)/(1-q))$:
l'altro addendo lo ottieni in modo analogo,
ed altrettanto lecito
(con una derivazione in meno,
ma una moltiplicazione per $q$ in più,
di ambo i membri dell'uguaglianza che otterrai derivando quella suggerita nel mio post precedente..)!
Saluti dal web.
P.S.M'accorgo solo ora che sei nuovo di queste parti:
benvenuto,naturalmente!
Grazie ora ho capito. I conti sono parecchio lunghi considerando che poi q è un esponenziale. Da quello che ho sentito dal prof il conto dovrebbe essere più breve. Secondo te c'è un modo per maggiorare la serie senza calcolarla e fare vedere che, se $\beta$ è grande, allora assume un valore arbitrariamente piccolo?
Vediamo se ho ben capito:
vuoi dimostrare che $EElim_(beta to oo)sum_(k=1)^(+oo)k^2(3^k)/(e^(2 beta J k))=0$?
Se è così ti basterebbe,per un teorema ponte tra successioni e funzioni reali di variabile reale,
verificare che è infinitesima la successione ${a_m=sum_(k=1)^(+oo)k^2(3^k)/(e^(2 m J k))}_(m in NN)$:
qualora non mi stessi sbagliando,e tu non riuscissi a dimostrare quest'ultimo fatto
(per farlo son sufficienti il teorema di Abel per le serie di potenze ed un teorema ponte tra funzioni continue e successioni..),
fà tranquillamente un fischio.
Saluti dal web.
vuoi dimostrare che $EElim_(beta to oo)sum_(k=1)^(+oo)k^2(3^k)/(e^(2 beta J k))=0$?
Se è così ti basterebbe,per un teorema ponte tra successioni e funzioni reali di variabile reale,
verificare che è infinitesima la successione ${a_m=sum_(k=1)^(+oo)k^2(3^k)/(e^(2 m J k))}_(m in NN)$:
qualora non mi stessi sbagliando,e tu non riuscissi a dimostrare quest'ultimo fatto
(per farlo son sufficienti il teorema di Abel per le serie di potenze ed un teorema ponte tra funzioni continue e successioni..),
fà tranquillamente un fischio.
Saluti dal web.
Si esatto, se posso portare dentro il limite ho fatto. Ma per poter portare il limite sotto la serie devo fare vedere ( se non sbaglio) che la successione converga uniformemente e , sempre se non sbaglio, per fare questo uso il teorema di Abel sulle serie di potenze che praticamente mi dice che, detto $\rho$ il raggio di convergenza della serie (nel nostro caso è 1), se la serie converge in $\rho$ allora converge uniformemente in [0,+$\rho$]. Ma nel nostro caso non converge in corrispondenza di 1, quindi come faccio?
Quel che dici,a proposito della convergenza in $[0,rho]$,è vero,
ma è una conseguenza d'una versione un pò più restrittiva del teorema in questione:
quella la cui tesi assicura l'uniforme convergenza d'una serie di potenze in ogni intervallo compatto
(con la metrica euclidea)contenuto in $I_("conv.punt")=(x_0-rho,x_0+rho)$..
Alla luce di ciò potrai dire che la serie di potenze $sum_(k=1)^(+oo)k^2x^k$(1),di centro $x_0=0$,
osservato come hai già fatto che per essa $rho_("(1)")=1$,
converge uniformemente,ad esempio,in $I_1=[0,1/2]$;
dettane allora $f$ la funzione somma,continua in $I_1$ proprio in virtù di tale convergenza uniforme,puoi affermare,
in forza di tale continuità e del fatto che $EElim_(m to oo)3/(e^(2 J m))=0^+$
(nonchè del sù citato teorema ponte tra funzioni continue,come appunto è la $f$ in $I_1$,e successioni numeriche,
quale quella di termine generale $b_m=3/(e^(2 J m))$..),
che $EElim_(m to oo)f(b_m)=f(lim_(m to oo)b_m)=f(0)=sum_(k=1)^(+oo)k^2*0^k=..=0$ (2):
ma,per definizione,$f(x)=sum_(k=1)^(+oo)k^2 x^k$ $AAx in [0,1/2]$,
e dunque $f(b_m)=sum_(k=1)^(+oo)k^2(3/(e^(2 J m)))^k=sum_(k=1)^(+oo)k^2(3^k)/(e^(2 k J m))$ $AAm inNN$
(m'accorga solo ora,dopo aver formalizzato,come fosse più corretto dire "per ogni m maggiore dell'indice a partire dal quale la successione infinitesima $b_m$ ha gli elementi del suo sostegno non superiori ad $1/2$",
benchè ciò non cambi forma nè sostanza del discorso una volta sistemata la mia svista in modo ovvio..),
e pertanto,vista la (2),abbiamo in conclusione verificato quanto volevamo!
Saluti dal web.
ma è una conseguenza d'una versione un pò più restrittiva del teorema in questione:
quella la cui tesi assicura l'uniforme convergenza d'una serie di potenze in ogni intervallo compatto
(con la metrica euclidea)contenuto in $I_("conv.punt")=(x_0-rho,x_0+rho)$..
Alla luce di ciò potrai dire che la serie di potenze $sum_(k=1)^(+oo)k^2x^k$(1),di centro $x_0=0$,
osservato come hai già fatto che per essa $rho_("(1)")=1$,
converge uniformemente,ad esempio,in $I_1=[0,1/2]$;
dettane allora $f$ la funzione somma,continua in $I_1$ proprio in virtù di tale convergenza uniforme,puoi affermare,
in forza di tale continuità e del fatto che $EElim_(m to oo)3/(e^(2 J m))=0^+$
(nonchè del sù citato teorema ponte tra funzioni continue,come appunto è la $f$ in $I_1$,e successioni numeriche,
quale quella di termine generale $b_m=3/(e^(2 J m))$..),
che $EElim_(m to oo)f(b_m)=f(lim_(m to oo)b_m)=f(0)=sum_(k=1)^(+oo)k^2*0^k=..=0$ (2):
ma,per definizione,$f(x)=sum_(k=1)^(+oo)k^2 x^k$ $AAx in [0,1/2]$,
e dunque $f(b_m)=sum_(k=1)^(+oo)k^2(3/(e^(2 J m)))^k=sum_(k=1)^(+oo)k^2(3^k)/(e^(2 k J m))$ $AAm inNN$
(m'accorga solo ora,dopo aver formalizzato,come fosse più corretto dire "per ogni m maggiore dell'indice a partire dal quale la successione infinitesima $b_m$ ha gli elementi del suo sostegno non superiori ad $1/2$",
benchè ciò non cambi forma nè sostanza del discorso una volta sistemata la mia svista in modo ovvio..),
e pertanto,vista la (2),abbiamo in conclusione verificato quanto volevamo!
Saluti dal web.
Grazie 
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