Serie geometrica di ragione 0
Perche la serie
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\0^n$
diverge, mentre
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\0$
converge?
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\0^n$
diverge, mentre
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\0$
converge?
Risposte
Benvenuto! Se definisci $0^0:=1$ allora direi proprio che $\sum_{n=0}^\infty\0^n=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^{m} 0^n=1+\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m}0^n=1$. Se invece $0^0$ è considerato indefinito...
Si è parlato della questione anche qua, ma non trovo il topic, comunque puoi dare un'occhiata qui, se non sapessi già della questione.
Tieni conto che nelle sommatorie e nelle serie espressioni di tipo $\sum_{n} a_n(x-x_0)^n$ si considera praticamente sempre l'addendo \(a_0(x-x_0)^0\) uguale ad $a_0$ anche quando $x=x_0$, come si è detto anche qui.
Si è parlato della questione anche qua, ma non trovo il topic, comunque puoi dare un'occhiata qui, se non sapessi già della questione.
Tieni conto che nelle sommatorie e nelle serie espressioni di tipo $\sum_{n} a_n(x-x_0)^n$ si considera praticamente sempre l'addendo \(a_0(x-x_0)^0\) uguale ad $a_0$ anche quando $x=x_0$, come si è detto anche qui.
Ora ti espongo per bene la questione:
Data la serie di funzioni, calcolarne le convergenza totale;
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(x^n)(arctg(nx))/(3^n)$
ora sappiano che l'arcotangente è maggiorata da pi mezzi, per cui $\(x^n)(arctg(nx))/(3^n)$ è maggiorata da $\(x^n)(pi/2)/(3^n)$. Ora per convergere totalmente, devo considerare un intervallo di raggio 3, perchè solo se
$\(x)/(3)$ è minore di uno allora potremmo dire che la serie considerata è maggiorata da una serie convergente e quindi risulterà totalmente convergente. Ora il libro, invece di considerarla totalmente convergente in ]-3, 3[ esclude lo 0. Ma perché!?
Data la serie di funzioni, calcolarne le convergenza totale;
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(x^n)(arctg(nx))/(3^n)$
ora sappiano che l'arcotangente è maggiorata da pi mezzi, per cui $\(x^n)(arctg(nx))/(3^n)$ è maggiorata da $\(x^n)(pi/2)/(3^n)$. Ora per convergere totalmente, devo considerare un intervallo di raggio 3, perchè solo se
$\(x)/(3)$ è minore di uno allora potremmo dire che la serie considerata è maggiorata da una serie convergente e quindi risulterà totalmente convergente. Ora il libro, invece di considerarla totalmente convergente in ]-3, 3[ esclude lo 0. Ma perché!?
Cioè la considera convergente solo in $]-3,0[\cup]0,3[$?
In tal caso non c'è ragione di escludere lo 0 invece di prendere tutto $]-3,3[$ perché $\sum_{n=1}^\infty\0^n\cdot (\text{arctg}(n\cdot 0))/(3^n) $ ha termini tutti nulli e definiti in qualunque modo si decida di trattare $0^0$.
Inoltre anche $\sum_{n=0}^\infty\x^n(\text{arctg}(nx))/(3^n) $, se si adotta la convenzione, come accade praticamente sempre, di considerare, quando hai $x=0,n=0$ nelle sommatorie, $x^n=1$, converge in tutto $]-3,3[$. Se invece si decide di non adottare tale convenzione per il problematico $0^0$, allora quest'ultima serie non può convergere perché ha un termine non definito.
Se invece ti sembrasse strano che la serie non presenta il termine con $n=0$, be', la sommatoria puoi farla "partire" da dove vuoi... ed oltretutto è sempre possibile rinominare gli indici perché il primo corrisponda al numero che vuoi: $\sum_{n=1}^\infty x^n(\text{arctg}(nx))/(3^n)=\sum_{n=0}^\infty x^(n+1)(\text{arctg}((n+1)x))/(3^(n+1)) $
Se ho ben capito la tua perplessità...
In tal caso non c'è ragione di escludere lo 0 invece di prendere tutto $]-3,3[$ perché $\sum_{n=1}^\infty\0^n\cdot (\text{arctg}(n\cdot 0))/(3^n) $ ha termini tutti nulli e definiti in qualunque modo si decida di trattare $0^0$.
Inoltre anche $\sum_{n=0}^\infty\x^n(\text{arctg}(nx))/(3^n) $, se si adotta la convenzione, come accade praticamente sempre, di considerare, quando hai $x=0,n=0$ nelle sommatorie, $x^n=1$, converge in tutto $]-3,3[$. Se invece si decide di non adottare tale convenzione per il problematico $0^0$, allora quest'ultima serie non può convergere perché ha un termine non definito.
Se invece ti sembrasse strano che la serie non presenta il termine con $n=0$, be', la sommatoria puoi farla "partire" da dove vuoi... ed oltretutto è sempre possibile rinominare gli indici perché il primo corrisponda al numero che vuoi: $\sum_{n=1}^\infty x^n(\text{arctg}(nx))/(3^n)=\sum_{n=0}^\infty x^(n+1)(\text{arctg}((n+1)x))/(3^(n+1)) $
Se ho ben capito la tua perplessità...
Quindi devo prendere per buono che esclude lo zero per convenzione? Da quato ho capito non dipende dalla serie e nemmeno dalla funzione (dato che l'arctg è definita e come in 0). L'unica spiegazione è che (per qualche teorema o simili) dato un intervallo di centro 0 e raggio r>0, si può dire cosa succede in ]0,r[, ma non in 0. Non so se ho reso l'idea.
"Bernulli94":Direi proprio di sì.
Quindi devo prendere per buono che esclude lo zero per convenzione?
"Bernulli94":Dipende nel senso che, se nessun elemento nella serie elevato alla $n$ si annulla per $n=0$, non ci sarebbe modo di porsi problemi di definizione di $0^0$. Comunque anche se ciò avviene, si utilizza che sappia io sempre la convenzione per cui tale elemento elevato alla 0 vale 1.
Da quanto ho capito non dipende dalla serie e nemmeno dalla funzione
"Bernulli94":Certo: l'unica problematica consiste se proprio volessimo nel definire chi sia $x^n$ quando $x=0=n$, anche se, come ti accorgerai presto, la norma è far valere tale termine 1 nelle sommatorie.
l'arctg è definita e come in 0
"Bernulli94":Dipende da come è fatta la serie. Per esempio una serie di potenze reali $\sum_{n}a_n(x-x_0)^n$ converge o solo per $x=x_0$ o in un intervallo, inclusi o meno gli estremi a seconda dei casi, centrato in $x_0$. Altre serie funzionano diversamente. Naturalmente sono esclusi dall'insieme di convergenza i punti che rendono qualche termine della serie non definito. Comunque ripeto che $x^n$, anche se $x=0=n$, non mi è mai capitato di vederlo considerare indefinito in una sommatoria. Per esempio ti accorgerai che virtualmente tutti gli autori scrivono $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x^{2n})/((2n)!)\quad\forall x\in\mathbb{R}$ senza escludere $x=0$: in tale caso vale $\cos 0=(-1)^0\frac{1}{(2\cdot 0)!}+(-1)^1 \frac{0^{2\cdot 1}}{(2\cdot 1)!}+...=1$.
L'unica spiegazione è che (per qualche teorema o simili) dato un intervallo di centro 0 e raggio r>0, si può dire cosa succede in ]0,r[, ma non in 0.
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