Serie geometrica
é noto che,data una serie geometrica di ragione $x$ converge se $|x|<1$e la sua somma,in tal caso,vale $1/(1-x)$.
Come mai nell'esercizio che mi accingo a scrivere le cose sono un po' diverse?
Data la successione definita da
$a_n={(1/(2^n),n<0),(0,n>=0):}$
determinare la sua trasformata zeta.
$Z({a_n};z)=sum_(n=-infty)^(+infty)a_nz^(-n)=sum_(n=-infty)^(-1)1/(2^n)z^(-n)=sum_(n=1)^(+infty)(2z)^n=1/(1-2z)-1=...=(2z)/(1-2z),|z|<1/2$.
Se la somma è $1/(1-x)$ perchè nell'esempio c'è $1/(1-2z)-1$?
Come mai nell'esercizio che mi accingo a scrivere le cose sono un po' diverse?
Data la successione definita da
$a_n={(1/(2^n),n<0),(0,n>=0):}$
determinare la sua trasformata zeta.
$Z({a_n};z)=sum_(n=-infty)^(+infty)a_nz^(-n)=sum_(n=-infty)^(-1)1/(2^n)z^(-n)=sum_(n=1)^(+infty)(2z)^n=1/(1-2z)-1=...=(2z)/(1-2z),|z|<1/2$.
Se la somma è $1/(1-x)$ perchè nell'esempio c'è $1/(1-2z)-1$?
Risposte
"$sum_(n=-infty)^(-1)1/(2n)z^(-n)=sum_(n=1)^(+infty)(2z)^n$"
Mi sa che questo passaggio è sbagliato...
Mi sa che questo passaggio è sbagliato...
Sto scambiando $n$ con $-n$,perchè è sbagliato?
C'è un $2^n$ che appare a secondo membro, e da dove viene?
Scusatemi,ma ho scritto male il testo,per questo non ci capivamo.Sto correggendo.
e allora?Mi sapete dire il perchè?
"Ainéias":
Se la somma è $1/(1-x)$ perchè nell'esempio c'è $1/(1-2z)-1$?
La somma sarebbe $1/(1-x)$ se la sommatoria partisse da $0$... visto che parte da $1$ devi tenerne conto.
Vero!Grazie.
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