Serie geometrica?
La docente di analisi per stabilire la convergenza di
$sum_(k = 1)^(+oo) (1/2)^(sqrt(k))$
ha utilizzato il confronto asintotico. Mi domando: è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k, e quindi ridursi a una serie geometrica di ragione $1/2$, che converge? Se no, perchè?
$sum_(k = 1)^(+oo) (1/2)^(sqrt(k))$
ha utilizzato il confronto asintotico. Mi domando: è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k, e quindi ridursi a una serie geometrica di ragione $1/2$, che converge? Se no, perchè?
Risposte
Non credo proprio che si tratti di una serie geometrica.
Se poi $sqrtk$ ha lo stesso comportamento asintotico di $k$ e si può sfruttare ciò per studiare la serie come progressione geometrica allora questo è un altro discorso a cui non so rispondere.
Ad intuito però la mia risposta è negativa.
Se poi $sqrtk$ ha lo stesso comportamento asintotico di $k$ e si può sfruttare ciò per studiare la serie come progressione geometrica allora questo è un altro discorso a cui non so rispondere.
Ad intuito però la mia risposta è negativa.
"lore":
La docente di analisi per stabilire la convergenza di
$sum_(k = 1)^(+oo) (1/2)^(sqrt(k))$
ha utilizzato il confronto asintotico. Mi domando: è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k, e quindi ridursi a una serie geometrica di ragione $1/2$, che converge? Se no, perchè?
Non è necessario nessun confronto asintotico, basta considerare che
$ sum_{k=a}^b (1/2)^{sqrt(k)} < (b-a) (1/2)^{sqrt(a)} $
e
$sum_(k = 1)^(infty) (1/2)^(sqrt(k))= sum_{a=1}^infty sum_(k=a^2)^{a^2+2a} (1/2)^{sqrt(k)} < sum_{a=1}^infty (2a) (1/2)^{a}$
credo che questa soluzione sia molto più elegante di qualsiasi confronto asintotico...
Ciao Ciao
"carlo23":
credo che questa soluzione sia molto più elegante di qualsiasi confronto asintotico...
Ciao Ciao
viva la modestia
comunque è probabile
"eafkuor":
[quote="carlo23"]
credo che questa soluzione sia molto più elegante di qualsiasi confronto asintotico...
Ciao Ciao
viva la modestia
comunque è probabile
[/quote]Volevo solo far notare che molto spesso uno se la può cavare semplicemente con il criterio del confronto
OK ma la mia domanda era se quella si può considerare o meno una serie geometrica...
Per il resto la versione con il confronto asintotico viene più elegante, nonchè più semplice.. la tua fai difficoltà a spiegargliela a chi non è un pò avanti.
Per il resto la versione con il confronto asintotico viene più elegante, nonchè più semplice.. la tua fai difficoltà a spiegargliela a chi non è un pò avanti.
"carlo23":
Non è necessario nessun confronto asintotico, basta considerare che
$ sum_{k=a}^b (1/2)^{sqrt(k)} < (b-a) (1/2)^{sqrt(a)} $
La disuguaglianza è sbagliata! Casomai a secondo membro ci va un "$(b-a+1) (1/2)^{sqrt(a)}$".
"lore":
[...] è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k [...]?
...ma non diciamo idiozie!
"DavidHilbert":
[quote="carlo23"]
Non è necessario nessun confronto asintotico, basta considerare che
$ sum_{k=a}^b (1/2)^{sqrt(k)} < (b-a) (1/2)^{sqrt(a)} $
La disuguaglianza è sbagliata! Casomai a secondo membro ci va un "$(b-a+1) (1/2)^{sqrt(a)}$".[/quote]
ah già, comunque il metodo funziona lo stesso.
Ciao Ciao
"DavidHilbert":
[quote="lore"][...] è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k [...]?
...ma non diciamo idiozie!
[/quote]Chiedo Perdono, o Sommo
...A perte gli scherzi, mi illumini sulla mia idiozia matematica?
L'idiozia non è tua, bensì della tua prof. La ragione è semplice: le funzioni $[0, +\infty[ \to \mathbb{R}$$: x \to \sqrt{x}$ e $[0, +\infty[ \to \mathbb{R}: x \to x$ non sono certamente asintotiche, per $x \to +\infty$.
"DavidHilbert":
L'idiozia non è tua, bensì della tua prof. La ragione è semplice: le funzioni $[0, +\infty[ \to \mathbb{R}$$: x \to \sqrt{x}$ e $[0, +\infty[ \to \mathbb{R}: x \to x$ non sono certamente asintotiche, per $x \to +\infty$.
Ehm no l'idiozia è mia
appunto volevo sapere se si poteva considerare come serie geometrica pur avendo esponente della forma $sqrt(x)$... a regola no, perchè? Ho provato a fare la dimostrazione che in effetti si usa per la serie geometrica, con l'esponete dell'altra forma, e infatti non torna. Questo però non escluderebbe la possibilità...... comunque sarebbe stato peso l'avesse detto la prof
...
Ti pare forse che il rapporto fra due termini consecutivi di quella tua serie sia costante?! [...] Dunque non vedo in che modo quella tua serie possa mai dirsi geometrica.
io la vedo cosi':
supponiamo che la tua successione sia superiormente limitata da una geometrica.
allora esistono $m > 1$ e $p > 1$ tali che definitivamente $(1/m)^sqrt(n) <= (1/p)^n$
allora $lim_{n->∞}((1/m)^sqrt(n)/(1/p)^n) <= 1$ che e' un assurdo perche' il limite va a infinito per ogni m,p > 1
quindi non puoi ricondurti ad una geometrica.
puo' funzionare?
supponiamo che la tua successione sia superiormente limitata da una geometrica.
allora esistono $m > 1$ e $p > 1$ tali che definitivamente $(1/m)^sqrt(n) <= (1/p)^n$
allora $lim_{n->∞}((1/m)^sqrt(n)/(1/p)^n) <= 1$ che e' un assurdo perche' il limite va a infinito per ogni m,p > 1
quindi non puoi ricondurti ad una geometrica.
puo' funzionare?
"vl4d":
supponiamo che la tua successione sia superiormente limitata da una geometrica.
allora esistono $m > 1$ e $p > 1$ tali che definitivamente $(1/m)^sqrt(n) <= (1/p)^n$
allora $lim_{n->∞}((1/m)^sqrt(n)/(1/p)^n) <= 1$ che e' un assurdo perche' il limite va a infinito per ogni m,p > 1
quindi non puoi ricondurti ad una geometrica.
puo' funzionare?
No. Tutto questo non ha alcun senso.
che bello
"vl4d":
io la vedo cosi':
supponiamo che la tua successione sia superiormente limitata da una geometrica.
allora esistono $m > 1$ e $p > 1$ tali che definitivamente $(1/m)^sqrt(n) <= (1/p)^n$
allora $lim_{n->∞}((1/m)^sqrt(n)/(1/p)^n) <= 1$ che e' un assurdo perche' il limite va a infinito per ogni m,p > 1
quindi non puoi ricondurti ad una geometrica.
puo' funzionare?
Può anche essere, ma perchè l'essere limitata superiormente da una geometrica implicherebbe averci lo stesso comportamento?
Ti pare forse che il rapporto fra due termini consecutivi di quella tua serie sia costante?!
Hilbert, non è che ti sto a prendere in giro, è che non ce l'hanno mai fatta 'sta proprietà (in ogni caso non me la ricordo)... rilassati, stamo a discutere
in ogni caso grazie per la dritta.
Può anche essere, ma perchè l'essere limitata superiormente da una geometrica implicherebbe averci lo stesso comportamento?
se hai $sum_(n = 1)^(+oo)a_{n}$ e $sum_(n = 1)^(+oo)b_{n}$ a termini positivi e $a_{n} <= b_{n}$, se converge $sum_(n = 1)^(+oo)b_{n}$ converge anche $sum_(n = 1)^(+oo)a_{n}$ perche' risulta una successione (somme parziali) monotona crescente e limitata, quindi ammette limite.
cmq non fare troppo affidamento sulla mia pseudo cagata di prima... DavidHilbert, perche' non ha senso?
"vl4d":
Può anche essere, ma perchè l'essere limitata superiormente da una geometrica implicherebbe averci lo stesso comportamento?
se hai $sum_(n = 1)^(+oo)a_{n}$ e $sum_(n = 1)^(+oo)b_{n}$ a termini positivi e $a_{n} <= b_{n}$, se converge $sum_(n = 1)^(+oo)b_{n}$ converge anche $sum_(n = 1)^(+oo)a_{n}$ perche' risulta una successione (somme parziali) monotona crescente e limitata, quindi ammette limite.
cmq non fare troppo affidamento sulla mia pseudo cagata di prima... DavidHilbert, perche' non ha senso?
OK ma se diverge $b_n$ non si può dedurre nulla su cosa fa $a_n$, quindi quel confronto non implica che $a_n$ e $b_n$ abbiano lo stesso comportamento.
perchè nel tuo caso $b_n<=a_n$, perchè elevi un numero minore di uno ad un esponente minore, come al solito david ha ragione
"GuillaumedeL'Hopital":
perchè nel tuo caso $b_n<=a_n$, perchè elevi un numero minore di uno ad un esponente minore, come al solito david ha ragione
Rendiamo grazie a David
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