Serie geometrica?

[freddofede]

La docente di analisi per stabilire la convergenza di

$sum_(k = 1)^(+oo) (1/2)^(sqrt(k))$

ha utilizzato il confronto asintotico. Mi domando: è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k, e quindi ridursi a una serie geometrica di ragione $1/2$, che converge? Se no, perchè?

[vl4dster]

OK ma se diverge $b_n$ non si può dedurre nulla su cosa fa $a_n$, quindi quel confronto non implica che $a_n$ e $b_n$ abbiano lo stesso comportamento.

infatti io volevo solo dire che _non_ puoi concludere che converge "maggiorandola" con una geometrica

perchè nel tuo caso $b_n<=a_n$, perchè elevi un numero minore di uno ad un esponente minore, come al solito david ha ragione

missa che ho perso il filo

[Sk_Anonymous]

"lore":
Hilbert, non è che ti sto a prendere in giro, è che non ce l'hanno mai fatta 'sta proprietà (in ogni caso non me la ricordo)... rilassati, stamo a discutere in ogni caso grazie per la dritta.

Sono già sufficientemente rilassato, non ti preoccupare inutilmente. Per il resto, mi limitavo soltanto ad invocare la definizione di serie geometrica: "essendo $n \in \mathbb{Z}$, la serie numerica (reale o complessa) $\sum_{k=n}^\infty a_n$ si dice geometrica sse esiste una costante $q \in \mathbb{C}$ tale che $a_{k+1} = q \cdot a_k$, per ogni $k = n, n+1, ...$"

[Sk_Anonymous]

"vl4d":
se hai $sum_(n = 1)^(+oo)a_{n}$ e $sum_(n = 1)^(+oo)b_{n}$ a termini positivi e $a_{n} <= b_{n}$, se converge $sum_(n = 1)^(+oo)b_{n}$ converge anche $sum_(n = 1)^(+oo)a_{n}$ perche' risulta una successione (somme parziali) monotona crescente e limitata, quindi ammette limite.

cmq non fare troppo affidamento sulla mia pseudo cagata di prima... DavidHilbert, perche' non ha senso?

...perché $(1/2)^{\sqrt{n}} \ge (1/2)^n$, per ogni $n \in \mathbb{N}$, e perciò il fatto che la serie geometrica $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n$ sia convergente non dà alcuna informazione circa il carattere della serie $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^{\sqrt{n}}$.

[vl4dster]

...perché $(1/2)^{\sqrt{n}} \ge (1/2)^n$, per ogni $n \in \mathbb{N}$, e perciò il fatto che la serie geometrica $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n$ sia convergente non dà alcuna informazione circa il carattere della serie $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^{\sqrt{n}}$.

forse mi sono spiegato male, io intendevo dire proprio questo. che e' un assurdo che $(1/2)^{\sqrt{n}} \le (1/2)^n$ e quindi _non_ puoi stabilire il comportamento riconducendola ad una geometrica. il fatto e' che lore aveva detto:

è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k, e quindi ridursi a una serie geometrica di ragione $1/2$, che converge? Se no, perchè?

e la mia voleva essere una risposta a quel: "se no, perche'?"

[freddofede]

OK, grazie mille a tutti per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

"lore":La docente di analisi per stabilire la convergenza di

$sum_(k = 1)^(+oo) (1/2)^(sqrt(k))$

ha utilizzato il confronto asintotico. Mi domando: è legale considerare $sqrt(k)$ avente lo stesso comportamento asintotico di k, e quindi ridursi a una serie geometrica di ragione $1/2$, che converge? Se no, perchè?

...e comunque la convergenza delle serie indicate segue direttamente dall'osservazione che, definitivamente per $k \in \mathbb{Z}^+$: $(1/2)^{\sqrt{k}} \le 1/k^2$ (tanto per chiudere).

[freddofede]

Ehm no mi sono espresso male io la docente ha usato il confronto asintotico con $1/(n^2)$, mentre io ipotizzavo di considerarla come geometrica, cosa che invece, data la proprietà che mi hai mostrato e non conoscevo, non è possibile fare...

[Sk_Anonymous]

Torno a ripetere che non ti ho mostrato alcuna proprietà: mi sono limitato semplicemente a ripetere una definizione!