Serie funzioni, passaggio sotto segno integrale

[Morpheus1]

Salve a tutti, sono nuovo in questo forum e volevo chiedere il vostro parere su un mio problema.
Considerando la serie di funzioni $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx}$ ovviamente definita $ \forall x != 0 $ è possibile ad essa applicare il teorema detto del passaggio sotto segno di integrale?

Il teorema dice, se ho una serie di funzioni tutte integrabili secondo Riemann in un dato compatto $ [a,b] $ di $ \mathbb{R} $ che converge uniformemente ad una funzione $ f $, allora anche $ f $ è integrabile secondo Riemann e vale la relazione:
$ \int_a^b f = \sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b f_n $

Quello che mi lascia perplesso è che la serie sopra citata soddisfa le ipotesi del teorema, ma la serie numerica degli integrali delle $ f_n $ è evidentemente convergente ma non assolutamente convergente.
Aspetto il vostro parere, grazie.

[dissonance]

"Morpheus":
Quello che mi lascia perplesso è che la serie sopra citata soddisfa le ipotesi del teorema,

Ma in quale intervallo? Comunque non è detto che una serie di funzioni convergente uniformemente converga anche assolutamente. Il criterio di uso più comune per la convergenza uniforme, il test di Weierstrass, implica anche la convergenza assoluta; ma in generale convergenza uniforme e convergenza assoluta sono tra loro indipendenti.

[Morpheus1]

Allora rispondo a tuo post dissonance:
la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx}$ converge puntualmente su tutto $\mathbb{R}$, escluso ovviamente lo zero. Inoltre, concentrando l'attenzione su $\mathbb{R^+}$ tanto è li che interessa a me, si riesce a dimostrare che quella serie converge totalmente su qualunque semiretta del tipo $]\delta, +\infty[$ $\forall \delta \in \mathbb{R^+}$ proprio utilizzando il criterio della serie degli $M_n$ definiti come $M_n = s up |f_n (x)|$ con $x$ che varia sempre in $\mathbb{R^+}$.

Non ho ben capito a cosa ti riferivi quando parlavi di convergenza assoluta. Ad ogni modo spiego meglio perché io ne ho parlato precedentemente.
Se posso applicare quel teorema a quella serie allora posso scrivere la serie numerica degli integrali delle $f_n$ in intervalli compatti $[a,b] \quad \forall a,b \in \mathbb{R^+}$. Si vede tranquillamente che quella serie numerica, per $n \to +\infty$ è asintoticamente equivalente alla serie armonica alternata che converge ma non converge in modo assoluto.

Quello che vorrei capire è se tutto questo ragionamento che ho fatto è corretto (sta in piedi) e se infine ci sono le ipotesi per poter applicare il teorema di Riemann-Dini alla serie numerica degli integrali delle $f_n$

[dissonance]

Eh ma il criterio di Weierstrass non ti è d'aiuto. In compenso abbiamo alleggerito la richiesta. Quello che a te serve, se ho capito bene, è la convergenza uniforme sui compatti di $(0, infty)$ (giusto? su quali insiemi devi integrare?).

Dicevo che il criterio di Weierstrass non ti aiuta perché quello è evidentemente un criterio di convergenza uniforme e assoluta. Qui la convergenza assoluta non c'è mai. Quindi don't bother.

Invece può servire il criterio di Leibniz. Poco tempo fa Megan00b ha parlato di come torni utile per testare la convergenza uniforme di serie di funzioni come la tua. Ecco il link:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#295355

[Morpheus1]

No ma infatti questo discorso lo conoscevo, non lo avevo mai applicato praticamente ma lo conoscevo. E comunque per la serie che ho preso in questione mi sembra abbastanza ovvio che debba convergere anche totalmente su qualsiasi semiretta di $\mathbb{R^+}$, lo si capisce anche intuitivamente quando $n -> +\infty$.
Tanto è vero che io questa serie me la sono costruita a ritroso: nel senso che io volevo una serie di funzioni tale che la serie numerica degli integrali su un compatto non convergesse assolutamente ma lo facesse semplicemente e che avesse convergenza almeno uniforme e almeno su quel compatto di integrazione.
Dopo averla messa insieme ho dovuto ricontrollare tutte le proprietà che mi servivano ed è li che ho il dubbio.

Cioè io il risultato ce l'ho, però volevo capire se è coerente e se è tale da poter applicare Riemann-Dini.

[dissonance]

Si si, questo lo avevo immaginato. Il fatto è che bisogna mostrare la convergenza uniforme, non mi sembra una cosa ovvia. Siamo d'accordo? Una volta mostrata la convergenza uniforme (almeno sui compatti) saremo a cavallo.

Quando parlo di "test di Weierstrass" intendo questa cosa:
data $sumf_n(x)$ se esiste una successione $M_n>=0$, tale che $"sup"_(x\inX)|f_n(x)|<=M_n$ e $sumM_n$ converge allora la serie $sumf_n(x)$ converge uniformemente e assolutamente in $X$. (*)

Qui questo test non ti serve a nulla. Infatti la serie non converge assolutamente in nessun punto, e questo -a meno di non essermi rintronato- mi pare vero. Perciò il test fallirà certamente.

Ecco che quindi per mostrare la convergenza uniforme serve qualche altro trucco. Che ne pensi di quello che dice Megan00b?

(*) [edit] corretto un errore qui.

[Morpheus1]

Ok benissimo, ci siamo capiti sul mio intento e questa credo fosse la cosa più difficile!!

Passando alla matematica del problema: il metodo che proponeva Megan00b è sicuramente interessante e qualcosa ne dovrei anche sapere, nel senso che io quello che lei ha scritto lo conoscevo come condizione di Cauchy per le serie di funzioni. Credo che questa sia una buona strada per poter arrivare alla dimostrazione.
Inoltre su delle mie cose ho trovato anche un'altra formulazione del tutto analoga che dice che devono valere le 2 proprietà: che la serie converga puntualmente e che $ s up_{x \in A} | \sum_{k=n}^{\infty} f_k (x)| -> 0$ per $n -> +\infty$

Credo che con un pò di buona volontà dovrei riuscire a dimostrare il tutto. Però se ci riesco secondo te dopo è lecito applicare Riemann-Dini??

[gugo82]

Apro e chiudo una parentesi veloce, visto che secondo me sbagliate nel "leggere" il problema.

Non so se avete notato che il passaggio al limite in ogni intervallo del tipo $[a,+oo[$ può essere fatto senza alcun dubbio (e senza andare a guardare la convergenza uniforme, che è condizione sufficiente ma nient'affatto necessaria).
Infatti la somma parziale $n$-esima e la somma della serie si scrivono rispettivamente $s_n(x):=\sigma_n/x$ e $s(x):=sigma/x$, ove $sigma_n$ e $sigma$ sono la ridotta $n$-esima e la somma della serie opposta all'armonica alternata (quindi $sigma_n:=\sum_(k=1)^n (-1)^k/k$ e $sigma=-ln2$); ora, i $sigma_n$ sono tutti negativi quindi è:

$AA n \in NN, \quad \int_a^(+oo) s_n(x)" d"x=sigma_n*\int_a^(+oo) 1/x" d"x=-oo\quad$,

e d'altra parte è:

$\int_a^(+oo) s(x)" d"x=sigma*\int_a^(+oo) 1/x" d"x=-oo \quad$,

cosicchè è comunque vera la relazione:

$\int_a^(+oo) \sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k/(kx)" d"x=lim_n\int_a^(+oo) \sum_(k=1)^n (-1)^k/(kx)" d"x\quad$.

Evidentemente quello che non è lecito fare in questo caso è distribuire l'integrale rispetto alla somma (seppure finita) al secondo membro della precedente; in altre parole non ha alcun senso scrivere:

$\int_a^(+oo) \sum_(k=1)^n (-1)^k/(kx)" d"x=\sum_(k=1)^n \int_a^(+oo) (-1)^k/(kx) " d"x$

perchè la somma a secondo membro è in forma indeterminata.

Insomma, quello proposto non è tanto un problema che riguarda il passaggio al limite sotto il segno d'integrale, quanto il fatto che la somma $\sum_(k=1)^n \int_a^(+oo) (-1)^k/(kx) " d"x=-oo+oo-oo+\ldots+(-1)^n oo$ non è definibile in alcun modo sensato.

[dissonance]

Certo, Gugo ha perfettamente ragione. Vedi che succede a fare le cose la sera tardi?
Dobbiamo cambiare esempio.

Ricapitolo i termini del problema: dobbiamo cercare una serie convergente uniformemente sui compatti, ma non assolutamente. Questo ci serve, in modo tale da poter passare al limite sotto il segno di integrale, pur non avendo convergenza assoluta. Sei d'accordo?

Io direi che un esempio semplice si ottiene sommando delle costanti. Una serie come $sum_{n=1}^infty(-1)^(n+1)/(n)$ converge (a $log 2$) non assolutamente. Che la convergenza sia uniforme è ovvio, qui la variabile non c'è proprio. E infatti possiamo dire che:

$(b-a)log2=int_a^bsum_{n=1}^infty(-1)^(n+1)/(n)=sum_{n=1}^inftyint_a^b(-1)^(n+1)/(n)=sum_{n=1}^infty(b-a)(-1)^(n+1)/(n)=(b-a)log2$

senza usare nessun teorema fantasmagorico, ma solo facendo due conticini. Ma quello che c'è scritto in questa formula è proprio una integrazione per serie.

[gugo82]

Credo che stavolta funzioni tutto.

"dissonance":Una serie come $sum_{n=1}^infty(-1)^n/(n)$ converge (a $log 2$) non assolutamente.

Scusa, dissonance, ma non era $\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)/n=log2$?

[dissonance]

$log(1+x)=sum_{n=1}^infty(-1)^(n+1)x^n/n$, giusto.

Quindi la serie del mio esempio è $-log2$. Bruttino così, meglio metterci l'esponente $n+1$.

[Morpheus1]

Si hai ragione dissonance, la sera tardi direi che non concilia questo tipo di ragionamenti!!
Il problema è che praticamente posso lavorare a queste cose solo la sera..

Allora il discorso che avete fatto voi (dissonance e Gugo82) è giustissimo. Infatti io stesso oggi ragionando un po' su queste cose mi era venuto in mente di prendere la funzione costante e poi magari generalizzare un po'. Vi ringrazio quindi di averlo già sviluppato qui.

Inoltre le conclusioni trovate sono proprio quelle che cercavo (quando dici che quella somma infinita di integrali converge a $(b-a)log2$). Era proprio questo il tipo di discorso che volevo fare, cioè arrivare a scrivere quella somma di integrali li che vengono fuori dalla serie numerica a segni alterni.

Ringrazio entrambi per la esperta consulenza.

P.S.: ad ogni modo uno straccio di dimostrazione della convergenza uniforme su un compatto di $\mathbb{R^+}$ della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx}$ la avevo anche scritta oggi, usando la condizione uniforme di Cauchy, ma a questo punto non so neanche se mi serve più.

[dissonance]

"Morpheus":
P.S.: ad ogni modo uno straccio di dimostrazione della convergenza uniforme su un compatto di $\mathbb{R^+}$ della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx}$ la avevo anche scritta oggi, usando la condizione uniforme di Cauchy, ma a questo punto non so neanche se mi serve più.

E' un esempio che può tornare comunque utile di serie convergente uniformemente ma non assolutamente. Può servire anche per vedere che non tutte le serie convergenti uniformemente passano il test di Weierstrass (quello della successione $M_n$ che dicevamo qualche post fa).

Per analizzare la convergenza uniforme sui compatti di quella serie, forse ti può tornare utile questa idea (niente di che): studia prima $sum(-1)^n/ny$, e poi cambia variabile $y=1/x$... forse così è più facile?

[Morpheus1]

Guarda ti posto le 2 righe che ho scritto oggi:

devo dimostrare che per la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{nx}$ vale la condizione uniforme di Cauchy, che posso formulare in questo modo qui:
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N}: \quad \forall k \geq n_0 \quad \forall x \in A, \quad |\sum_{k=n_0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{kx}| < \epsilon$
è una riformulazione analoga a quella con gli estremi superiori.

Fissato un certo $\epsilon > 0$, e ricordando che sto lavorando sempre con $x > 0$, prendo un $p \in \mathbb{N}$ e scrivo
$|\sum_{k=p}^{\infty} \frac{(-1)^k}{kx}| \leq \sum_{k=p}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{kx}|$, poiché per quantità tutte positive il modulo della somma è minore o uguale con la somma dei moduli.

Sia ora il caso in cui $|x| = x > 1$
mi riscrivo il resto della serie come nella condizione: $\quad |\sum_{k=p}^{\infty} \frac{(-1)^k}{kx}|$
maggioro questa cosa moltiplicando per una quantità positiva:
$ |\sum_{k=p}^{\infty} \frac{(-1)^k}{kx}| < |\sum_{k=p}^{\infty} \frac{(-1)^k}{kx}| x^{k+1} \leq |\sum_{k=p}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} x^k|$
che come avete fatto notare già voi in questo post, è, a meno di un piccolo cambio di indici tipo $(-1)^{k+1}$, la serie di Mercator che converge al $|log(x+1)|$.
Ho quindi fatto vedere che se $x>1$ la serie converge per qualsiasi scelta di $x$; per annullare quindi il resto della serie basterà prendere un $\epsilon$ adeguato.


Mi metto in $0 < |x| = x < 1$
siccome $x<1$ mi sposto di un po' con l'indice $p$ a partire da cui calcolo il resto della serie (tanto la condizione chiede di trovarne uno tale che dopo di lui succede quella cosa..). E' un modo per "rinormalizzare" il tutto.
Per ogni numero reale esisterà sempre un numero naturale maggiore di lui, allora prendo $q \in \mathbb{N}: \quad qx > p$, cioè $ q > \frac{p}{x}$ e riscrivo la serie come
$\sum_{k=q}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{kx}|$

In quest'intervallo i termini di quella somma sono tutti maggiori di 1 e posso ulteriormente maggiorare quello col suo quadrato:
$sum_{k=q}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{kx}| \leq sum_{k=q}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{kx}|^2 $ e chiaramente d'ora in poi mi dimentico dei moduli.

Si vede che quella cosa li è uguale a: $\sum_{k=q}^{\infty} \frac{1}{x^2k^2}$, che è asintoticamente equivalente alla serie armonica di esponente 2, la quale converge.

Quindi su ogni $x>0$ ho fatto vedere che il resto della serie si può maggiorare con qualcosa di convergente.

[Morpheus1]

Ad ogni modo, visto che la prima parte di questa dimostrazione sopra è un po' brutta e brutale, forse è meglio vederla così.

Sia il caso $x = |x| > 1$
qui scrivo la serie come $\sum_{k=p}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{kx}|$ e visto che non ho modo di maggiorare questa serie con qualcosa di convergente con delle manipolazioni che agiscono solo su $k$ e lasciano invariato $x$ (ogni tentativo fallirà poiché ci si riduce comunque a tentare di dimostrare la convergenza della serie armonica che notoriamente diverge..), proverò ad agire su $x$ in qualche modo.
Un buon modo può essere questo:

$kx$ è un numero reale tale che $kx > k$ poiché $x>1$, allora potrò trovare certamente un certo $\alpha \in \mathbb{R}$ tale che $k^{\alpha} < kx$ e in particolare, visto che $x,k >1$, questo esponente sarà $\alpha > 1$.
Definito questo posso maggiorare a questo punto la serie con:
$\sum_{k=p}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{kx}| \leq \sum_{k=p}^{\infty} |\frac{(-1)^k}{k^{\alpha}}|$, che evidentemente, visto che $\alpha > 1$, converge.

Forse così è un po' meglio.