Serie Fourier: difficoltà nel procedere

[strongmmc]

Salve a tutti.
Mi ritrovo a chiedere una mano per un problema sulle serie di Fourier.
In genere ho studiato con funzioni del tipo \(\displaystyle f(x) = \) $ { ( 0, -\pi
Ora mi trovo invece di fronte a qualcosa di questo tipo: $ f(x) = -|x + pi| / 3 , -2pi
Disegno intuitivamente la funzione e mi accorgo che è una funzione pari perchè è simmetrica rispetto all'asse y, ed ha la forma dell'onda a dente di sega, al negativo. Siccome mi viene richiesto di studiare se la funzione è pari o dispari, decido di studiare la serie di MacLaurin per vedere se ho esponenti pari o dispari. E qui ho i primi problemi, nel senso che non vado oltre la prima derivata, per ottenere: $ Tn = -pi/2 + x/2 $ ed ovviamente ho grado 1, quindi sono incoerente con l'affermazione fatta in precedenza.

Essendo poi periodica, se da $ -2pi < x <= 0 $ mi spostassi a $ 0 < x < 2pi $ dovrei mantenere lo stesso "plottaggio", ed invece ottengo una divergenza (o una convergenza ad un asintoto non meglio definito)...

quindi, avreste la possibilità di darmi prova del fatto che la funzione è pari attraverso Taylor?
o sto sbagliando dall'inizio e la funzione non è pari?

Volendo sorpassare questo studio, in favore della sua serie di Fourier, è giusto scrivere che $ a_0 = -1/(4pi) int_(-2pi)^0 f(x)dx $ ?

ringrazio per le risposte

[Sk_Anonymous]

Non è molto chiaro quale sia il problema. Se vuoi calcolare i coefficienti della serie, può convenire operare la traslazione $[x=t-pi]$ in modo tale da avere $[f(t)=-|t|/3] ^^ [-pi

Cita

Segnala

[strongmmc]

Ti ringrazio della risposta, capisco ora come sia possibile ottenere il nuovo campo di esistenza, io avevo provato scostandomi semplicemente di $ pi $ ottentendo risultati nefasti.
Tu però dici che è banale notare come sia pari la funzione (ed in effetti lo è) ma al mio docente di analisi poco interessa, nonostante per lui a lezione sia tutto banale. Per cui ho provato a verificare se f(x) fosse pari attraverso Taylor, che definisce una funzione pari/dispari se tutti i coefficenti della serie della stessa funzione hanno esponente pari/dispari. Se periodica, vale che f(x) è pari/dispari se tutti i coefficenti della serie contengono coseno/seno.

E il senso della domanda è proprio questo, dato che mi fermo alla prima derivata, non posso dire che la funzione sia pari, poichè non ho esponenti pari nella $ T_n $. Ma siccome so a priori che la funzione è pari... dove sto sbagliando?

[Sk_Anonymous]

Guarda che, per dimostrare che la funzione è pari, basta verificare che sia $[f(-t)=f(t)]$. Non è assolutamente necessario farne lo sviluppo di Taylor. Tra l'altro, le difficoltà che incontri in questo modo, sono legate al fatto che la funzione non è derivabile per $[t=0]$. Voglio dire, non puoi fare lo sviluppo di Taylor.

[strongmmc]

Hai ragione, così è sufficente. Grazie del tuo tempo