Serie fetente.
Determinare per quali $x \in RR$ la seguente serie converge :
$\sum _ (i=1)^(+\infty) ((n^3+n)/(e^(2n)+2^n))*x^(2n)(ln(|x|)^n)$
Innanzi tutto notiamo che tale serie è a termini positivi. Inoltre si verifica facilmente che è asintoticamente equivalente alla serie numerica (2) $ \sum_(i=1)^(+\infty) n^3*((x/e)^2)^n (ln(|x|))^n$.
Che non mi sembra comunque molto migliorata come situazione. sfruttando il criterio della radice ad esempio mi trovo un limite del tipo :
$(x/e)^2ln(|x|)$
Devo per forza studiarmi la funzioncina $f(x)= (x/e)^2 ln ( |x|) $ per venirne fuori con tale criterio, o vi sono altre vie più semplici?
grazie mille
$\sum _ (i=1)^(+\infty) ((n^3+n)/(e^(2n)+2^n))*x^(2n)(ln(|x|)^n)$
Innanzi tutto notiamo che tale serie è a termini positivi. Inoltre si verifica facilmente che è asintoticamente equivalente alla serie numerica (2) $ \sum_(i=1)^(+\infty) n^3*((x/e)^2)^n (ln(|x|))^n$.
Che non mi sembra comunque molto migliorata come situazione. sfruttando il criterio della radice ad esempio mi trovo un limite del tipo :
$(x/e)^2ln(|x|)$
Devo per forza studiarmi la funzioncina $f(x)= (x/e)^2 ln ( |x|) $ per venirne fuori con tale criterio, o vi sono altre vie più semplici?
grazie mille
Risposte
"Kashaman":
Determinare per quali $x \in RR$ la seguente serie converge :
$\sum _ (i=1)^(+\infty) ((n^3+n)/(e^(2n)+2^n))*x^(2n)(ln(|x|)^n)$
Innanzi tutto notiamo che tale serie è a termini positivi..
Tanto per capirci,che ho un piccolo dubbio:
stai parlando della famiglia di serie numeriche,dipendenti dal "parametro" $x$,il cui termine generale può,$AA x in RR setminus {0}$,
essere riscritto nelle forma $(n^4+n^2)/(e^(2n)+2^n)x^(2n)"log"|x|$?
"Kashaman":
Inoltre si verifica facilmente che è asintoticamente equivalente alla serie numerica (2) $ \sum_(i=1)^(+\infty) n^3*((x/e)^2)^n (ln(|x|))^n$.
Che non mi sembra comunque molto migliorata come situazione. sfruttando il criterio della radice ad esempio mi trovo un limite del tipo :
$(x/e)^2ln(|x|)$
Devo per forza studiarmi la funzioncina $f(x)= (x/e)^2 ln ( |x|) $ per venirne fuori con tale criterio, o vi sono altre vie più semplici?
By the way:
in entrambi i casi,anche se capisco che i conti possano apparire ad occhio scoccianti,
hai pensato al criterio del rapporto
?"Kashaman":
Grazie mille.
Aspetta a dirlo,Kash
:magari te ne penti
..Buon lavoro(quì son serio,ovviamente):
saluti dal web.
Dunque...la serie non è a termini positivi, studiamone l'assoluta convergenza. Il modulo del termine generale della serie è asintoticamente equivalente a
\[a_n:=\dfrac{n^3x^{2n}}{e^{2n}}|\ln|x||^n\]
La radice $n$-esima di questa roba ha limite
\[\dfrac{x^2}{e^2}|\ln|x||=:f(x)\]
Dunque se $f(x)<1$ la serie converge. Salta immediatamente all'occhio che $f$ è pari (considerazione che, pensandoci bene, avremmo potuto fare anche all'inizio ), quindi limitiamoci a studiarla per $x>0$. Per $x\ge 1$ si ha
\[f(x)=\dfrac{x^2}{e^2}\ln x\]
e poi
\[f(x)<1\iff x^2\ln x
Posto $h(x):=-x^2\ln x$, si ha
\[f(x)<1\iff h(x)
Riassemblando tutto si ha che la serie certamente converge per $x\in(-e, e)$. Lascio a te l'onore di verificare quel che succede per $x=e$ (in base a quanto detto, non è necessario far la verifica per $x=-e$)
@Theras: mi sembra che il criterio del rapporto non dica né più né meno di quello della radice (in questo caso)
Il problema di Kash penso fosse un altro.
\[a_n:=\dfrac{n^3x^{2n}}{e^{2n}}|\ln|x||^n\]
La radice $n$-esima di questa roba ha limite
\[\dfrac{x^2}{e^2}|\ln|x||=:f(x)\]
Dunque se $f(x)<1$ la serie converge. Salta immediatamente all'occhio che $f$ è pari (considerazione che, pensandoci bene, avremmo potuto fare anche all'inizio
), quindi limitiamoci a studiarla per $x>0$. Per $x\ge 1$ si ha\[f(x)=\dfrac{x^2}{e^2}\ln x\]
e poi
\[f(x)<1\iff x^2\ln x
Posto $h(x):=-x^2\ln x$, si ha
\[f(x)<1\iff h(x)
Riassemblando tutto si ha che la serie certamente converge per $x\in(-e, e)$. Lascio a te l'onore di verificare quel che succede per $x=e$ (in base a quanto detto, non è necessario far la verifica per $x=-e$)
@Theras: mi sembra che il criterio del rapporto non dica né più né meno di quello della radice (in questo caso)
Il problema di Kash penso fosse un altro.
No,Giuseppe:
a me sembra che faccia risparmiare qualche conto,se la serie è quella da me interpretata e non,
come si desume tu abbia considerato,la $sum_(n=1)^(+oo)(n^3+n)/(e^n+2^n)(x^2"log"|x|)^n$!
Non che,se la serie da studiare fosse quest'ultima,gli faccia male lo studiolo di funzione(anzi
..),
ma volevo venirgli incontro se avesse sbagliato a scrivere il testo:
ed in ogni caso ora,grazie a te,ha modo d'arricchirsi col confronto tra due metodi che,
essendo vero per le successioni a termini positivi come $EElim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)=l in bar(RR) rArr EElim_(n to oo)
|a_n|^(1/n)=l$,
in queste ipotesi porteranno sempre a limiti il cui calcolo,in tal contesto,
può a cuor leggero esser scelto in un modo o nell'altro solo in base a personali considerazioni di convenienza computazionale
(che poi,guarda caso,è quel che accade quando,un $epsilon$ più avanti negli studi,
si sceglie di calcolare il raggio di convergenza d'una serie di potenze con D'Alembert e non Cauchy,o viceversa..)!
Saluti dal web.
a me sembra che faccia risparmiare qualche conto,se la serie è quella da me interpretata e non,
come si desume tu abbia considerato,la $sum_(n=1)^(+oo)(n^3+n)/(e^n+2^n)(x^2"log"|x|)^n$!
Non che,se la serie da studiare fosse quest'ultima,gli faccia male lo studiolo di funzione(anzi
..),ma volevo venirgli incontro se avesse sbagliato a scrivere il testo:
ed in ogni caso ora,grazie a te,ha modo d'arricchirsi col confronto tra due metodi che,
essendo vero per le successioni a termini positivi come $EElim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)=l in bar(RR) rArr EElim_(n to oo)
|a_n|^(1/n)=l$,
in queste ipotesi porteranno sempre a limiti il cui calcolo,in tal contesto,
può a cuor leggero esser scelto in un modo o nell'altro solo in base a personali considerazioni di convenienza computazionale
(che poi,guarda caso,è quel che accade quando,un $epsilon$ più avanti negli studi,
si sceglie di calcolare il raggio di convergenza d'una serie di potenze con D'Alembert e non Cauchy,o viceversa..)!
Saluti dal web.
Aaah ecco! Non avevo notato che stavi parlando di un'altra serie
grazie ragazzi. Vedrò di riflettere sulle vostre risposte, e grazie per la vostra disponibilità-
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