Serie, facile facile

[Sk_Anonymous]

studiare al variare di $x!=-1/2$ la convergenza della seguente serie

$sum_(n=2)^oo((x-1)/(2x+1))^n((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)

$((x-1)/(2x+1))^n((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)=e^(nln((x-1)/(2x+1)))(nlnn(1+o(1)))/(n^2lnn(1+o(1)))=1/n e^(nln((x-1)/(2x+1)))(1+o(1))->0 <=> (x-1)/(2x+1)=1 <=> x=-2

ma $((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)=o(1/n)$ perciò

$sum_(n=2)^oo((x-1)/(2x+1))^n((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)=+oo, AA x !=-1/2

[Fioravante Patrone1]

"NOKKIAN80":studiare al variare di $x!=-1/2$ la convergenza della seguente serie

$sum_(n=2)^oo((x-1)/(2x+1))^n((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)

$((x-1)/(2x+1))^n((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)=e^(nln((x-1)/(2x+1)))(nlnn(1+o(1)))/(n^2lnn(1+o(1)))=1/n e^(nln((x-1)/(2x+1)))(1+o(1))->0 <=> (x-1)/(2x+1)=1 <=> x=-2

ma $((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)=o(1/n)$ perciò

$sum_(n=2)^oo((x-1)/(2x+1))^n((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)=+oo, AA x !=-1/2

2 parole brevi. Come "vedo" io l'esercizio

- per il pezzo $((x-1)/(2x+1))^n$, se è $|((x-1)/(2x+1))|<1$ questo è a posto. E il resto gli fa un baffo, visto che questo va a zero esponenzialmente, mentre questa accozzaglia di $n$ sparpagliati qua e là. $((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)$ è dominabile con un infinito di un ordine appropriato (47 va bene sicuro...). Se vuoi qualcosa di più "solido", che ti faccia sentire più a tuo agio, puoi usare un criterio tipo rapporto o radice

- per il pezzo $((x-1)/(2x+1))^n$, se è $|((x-1)/(2x+1))|>1$, niente convergenza. Ragioni, etc., identiche a qui sopra

- se è $|((x-1)/(2x+1))|=1$, ti resta solo da vedere la parte $((n+1)lnn)/(n^2lnn+1)$, che ti sei già studiato

[zorn1]

Sì, direi che converge se $|(x-1)/(2x+1)|<1$, diverge altrimenti.

[Sk_Anonymous]

mmmmmm....

[franced]

"zorn":Sì, direi che converge se $|(x-1)/(2x+1)|<1$, diverge altrimenti.

Anche io a occhio direi così, visto che l'altro termine si comporta per $n \rightarrow$ infinito (come si fa il simbolo?)
come $\frac{1}{n}$.
Se fosse $|(x-1)/(2x+1)| > 1$ non si avrebbe la condizione necessaria per la convergenza delle serie.
Se $|(x-1)/(2x+1)| = 1$ ci devo pensare.

Francesco Daddi

[franced]

"franced":[quote="zorn"]
Se $|(x-1)/(2x+1)| = 1$ ci devo pensare.

Francesco Daddi

[/quote]

Non c'è convergenza, per me.

Francesco Daddi

[Sk_Anonymous]

grazie a tutti