Serie, esercizio teorico

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Salve, devo dimostrare che:

siano $\sum_{n=1}^(+oo) a_n$ e $\sum_{n=1}^(+oo) b_n$ due serie a termini positivi, entrambe divergenti.
Posto $AA n in NN, m_n=min{a_n, b_n}$ e $M_n = max {a_n, b_n}$, dire se ciascuna delle due serie $\sum_{n=1}^(+oo) m_n$ e
$\sum_{n=1}^(+oo) M_n$ è divergente.
Dimostrare in caso positivo, portate un controesempio in caso negativo.

Mi potete dare una dritta per come dimostrarlo ?

[caulacau]

Poni \(u_n = \frac{1}{n}\), \(w_n = \chi_{2\mathbb N }\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri pari, e \(v_n = \chi_{2\mathbb N +1}\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri dispari; ora, se \(a_n := u_n w_n\) e \(b_n = u_n v_n\)... questo dimostra che \(\sum a_n \land b_n\) può convergere.

Per quanto riguarda \(\sum a_n \lor b_n\) mi pare che basti usare la maggiorazione \(\sum a_n \lor b_n \ge \sum a_n\) e il fatto che \(\sum a_n\) diverge.

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ho provato così

suppongo

$a_n \{(m_n=a_n),(M_n=b_n):}$

quindi per confronto si avrebbe

$\sum_{n=1}^(+oo) m_n =\sum_{n=1}^(+oo) a_n ->+oo$
$\sum_{n=1}^(+oo) M_n =\sum_{n=1}^(+oo) b_n ->+oo$

se invece si avesse

$a_n>b_n => \{(m_n=b_n),(M_n=a_n):}$


quindi per confronto si ha

$\sum_{n=1}^(+oo) m_n =\sum_{n=1}^(+oo) b_n ->+oo$ per confronto
$\sum_{n=1}^(+oo) M_n =\sum_{n=1}^(+oo) a_n ->+oo$

è corretta?

[gugo82]

No.

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dove sbaglio?

[gugo82]

Ab ovo.

Non si capisce perché devi prendere l'ulteriore ipotesi che $a_n < b_n$ o $a_n > b_n$ sempre.

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perchè se il $min =a_n$ significa che $b_n=max$ e viceversa quindi $a_n

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giusto.. Allora non ho proprio capito come affrontare questo esercizio.

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"caulacau":Poni \(u_n = \frac{1}{n}\), \(w_n = \chi_{2\mathbb N }\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri pari, e \(v_n = \chi_{2\mathbb N +1}\) la funzione caratteristica dell'insieme dei numeri dispari; ora, se \(a_n := u_n w_n\) e \(b_n = u_n v_n\)... questo dimostra che \(\sum a_n \land b_n\) può convergere.

Per quanto riguarda \(\sum a_n \lor b_n\) mi pare che basti usare la maggiorazione \(\sum a_n \lor b_n \ge \sum a_n\) e il fatto che \(\sum a_n\) diverge.

per quanto riguarda $(\sum Mn)$ che diverge ci sono.
perchè per il criterio del confronto se ho:
$ (\sum m_n) <= (\sum a_n)<= (\sum M_n)$

$(\sum a_n) $diverge $=> (\sum M_n)$ diverge poichè ogni maggiorante, a termini positivi, di una serie divergente è divergente.
analogamente con $b_n$
Invece per $(\sum m_n)$ lei mi consiglia di considerare queste due serie?

$(\sum a_n)=(\sum 2n)$
$(\sum b_n)=(\sum 2n+1)$
Ovviamente entrambe le serie divergenti, ma da qui come arrivo che il minimo potrebbe convergere?

[caulacau]

Nelle mie notazioni, \(\sum a_n \land b_n\) è la serie costantemente nulla. Quindi converge. Ma né \(\sum \frac{1}{2n}\) né \(\sum \frac{1}{2n+1}\) convergono, per confronto con la serie armonica.

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ma io devo considerare come serie la serie minimo di $a_n$ e $b_n$, quella che consideri tu coincide con il minimo?

[caulacau]

Qual è il minimo tra \(1/2n\) e $0$? E qual è il minimo tra \(1/(2n+1)\) e $0$?

[[e-mail]]

scusi ma se
$a_n=1/(2n)$
$b_n=1/(2n+1)$

prendo il min fra ${1/(2n),1/(2n+1)} $
quindi perchè considera 0?

[caulacau]

Non è quello che ho scritto, e non darmi del lei

[[e-mail]]

va bene ahah
tu fai il min fra
${1/(2n), 0}= 0$
${1/(2n+1), 0}= 0$

Ma perchè proprio lo 0?

forse non ho capito bene cosa fai..

[caulacau]

Perchè proprio lo 0?

per far convergere la serie dei minimi.

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si ma in questo modo è come se consideri 3 serie

$a_n=1/(2n)$
$b_n =1/(2n+1)$
$c_n=0$

e fra il min tra ${a_n, c_n}$ e $b_n, c_n$