Serie esercizio sul confronto asintotico
Salve,
Ho questo esercizio:
Studiare, al variare di $x in RR$, il comportamento della seguente serie:
$\sum_{n=1}^(+oo) (arctan(2+x)+15)^n \frac{tan(1/n^(1/7))}{[sin(1/n^(1/91))]^13}$
Risolviamo:
1- La serie è a termini positivi
2- lui dice di usare il criterio del confronto asintotico per eliminare tutta la seconda parte ma:
$lim_{n \to \infty}\frac{tan(1/n^(1/7))}{[sin(1/n^(1/91))]^13}=0$
Non è possibile applicare quel criterio, mi sapete spiegare dove sbaglio?
Ho questo esercizio:
Studiare, al variare di $x in RR$, il comportamento della seguente serie:
$\sum_{n=1}^(+oo) (arctan(2+x)+15)^n \frac{tan(1/n^(1/7))}{[sin(1/n^(1/91))]^13}$
Risolviamo:
1- La serie è a termini positivi
2- lui dice di usare il criterio del confronto asintotico per eliminare tutta la seconda parte ma:
$lim_{n \to \infty}\frac{tan(1/n^(1/7))}{[sin(1/n^(1/91))]^13}=0$
Non è possibile applicare quel criterio, mi sapete spiegare dove sbaglio?
Risposte
a occhio sbagli a risolvere il limite, ti spiego come ragionerei io:
abbiamo la successione [tex]\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}}[/tex], considerando che quando l'argomento della tangente e del seno tendono a zero, queste funzione sono asintotiche ai loro argomenti si ha:
[tex]\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}} \quad \sim \quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[ \dfrac{1}{n^{1/91}}\right]^{13}} \quad =[/tex]
[tex]= \quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{13/91}}} \quad = \quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{1/7}}} \quad = \quad 1[/tex]
Quindi io direi che il limite proposto vale 1
abbiamo la successione [tex]\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}}[/tex], considerando che quando l'argomento della tangente e del seno tendono a zero, queste funzione sono asintotiche ai loro argomenti si ha:
[tex]\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}} \quad \sim \quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[ \dfrac{1}{n^{1/91}}\right]^{13}} \quad =[/tex]
[tex]= \quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{13/91}}} \quad = \quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{1/7}}} \quad = \quad 1[/tex]
Quindi io direi che il limite proposto vale 1
perchè tendono a zero e non a infinito?
Dato che n tende a infinito, 1/n tende a 0!
credo che la tua domanda sia questa
credo che la tua domanda sia questa
Il risultato tuo è corretto:
Abbiamo
[tex]\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}}[/tex]
1-Ora eliminiamo tangente e seno per la regola degli infiniti, no?
[tex]\quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[ \dfrac{1}{n^{1/91}}\right]^{13}} \quad[/tex]
2-Ora moltiplichiamo il denominatore alla $x^13$
[tex]\quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{13/91}}} \quad[/tex]
3-Normaliziamo e calcoliamo il limite che tende a infinito
[tex]\quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{1/7}}} \quad = \quad 1[/tex]
ma non verrebbe $lim_{x->+oo}x^(-1/7)=0$?
Dove ho sbagliato?
Abbiamo
[tex]\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}}[/tex]
1-Ora eliminiamo tangente e seno per la regola degli infiniti, no?
[tex]\quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[ \dfrac{1}{n^{1/91}}\right]^{13}} \quad[/tex]
2-Ora moltiplichiamo il denominatore alla $x^13$
[tex]\quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{13/91}}} \quad[/tex]
3-Normaliziamo e calcoliamo il limite che tende a infinito
[tex]\quad \dfrac{ \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\dfrac{1}{n^{1/7}}} \quad = \quad 1[/tex]
ma non verrebbe $lim_{x->+oo}x^(-1/7)=0$?
Dove ho sbagliato?
"unit1":
ma non verrebbe $lim_{x->+oo}x^(-1/7)=0$?
Dove ho sbagliato?
non capisco come ottieni [tex]x^{-1/7}[/tex] uhm....
proprietà degli esponenti $x^-y=1/x^y$
Comunque Whisky84 il tuo ragionamento è perfetto, è quello che dice il prof e il risultato è giusto, cosi si può applicare il teorema.
Solo che il prof scrive solo che il risultato è uno e non spiega nulla. Mi potresti spiegare i vari passaggi, perfavore?
Comunque Whisky84 il tuo ragionamento è perfetto, è quello che dice il prof e il risultato è giusto, cosi si può applicare il teorema.
Solo che il prof scrive solo che il risultato è uno e non spiega nulla. Mi potresti spiegare i vari passaggi, perfavore?
"unit1":
proprietà degli esponenti $x^-y=1/x^y$
Certo le proprietà delle potenze non le metto in dubbio, se tu scrivi [tex]n^{-1/7}[/tex] o [tex]\frac{1}{n^{1/7}}[/tex] a me non cambia niente
Quello che ti chiedevo nello specifico era: perché nell'ultimo limite che hai riportato c'è *solo* [tex]n^{-1/7}[/tex] invece del rapporto tra [tex]n^{-1/7}[/tex] e se stesso?
voglio dire il limite che tu scrivi in sé e per sé è corretto, cioè indichi il risultato giusto, il fatto è che non capisco il percorso che ti porta a considerare quel limite....
Ad ogni modo, passiamo alla spiegazione (sommaria, dato che è una certa ora e ho un po' di sonno
) della mia risoluzione:dalla teoria dovresti sapere che se [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] sono due successioni tali che
[tex]\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n} = 1[/tex]
allora si dice che sono tra loro "asintotiche" e si indica con [tex]a_n \sim b_n[/tex]
questo intuitivamente si spiega col fatto che se il limite del loro rapporto è uno allora per valori di [tex]n[/tex] sufficientemente grandi le due successioni tenderanno ad assumere valori sempre più simili
Questo quindi ci permette, nel calcolo di limiti per [tex]n\to \infty[/tex], di scambiarle tra loro, cioè:
se [tex]a_n \sim b_n[/tex] allora [tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n[/tex]
Inolte ti ricordo il limite notevole:
[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin (\epsilon_n)}{\epsilon_n} =1 \quad \textrm{se} \,\,\epsilon_n \to 0[/tex]
da cui possiamo ricavare un altro limite notevole:
[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\tan (\epsilon_n)}{\epsilon_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin (\epsilon_n)}{\epsilon_n} \frac{1}{\cos(\epsilon_n)} = 1 \quad \textrm{se} \,\,\epsilon_n \to 0[/tex]
Quindi per quanto visto precedentemente si ha:
[tex]\textrm{se}\,\,\epsilon_n\to 0 \quad sin(\epsilon_n) \sim \epsilon_n, \qquad \tan(\epsilon_n) \sim \epsilon_n[/tex]
Passando alla successione considerata da te: [tex]c_n=\dfrac{ \tan \dfrac{1}{n^{1/7}}} {\left[\sin( \dfrac{1}{n^{1/91}})\right]^{13}}[/tex]
dato che sia [tex]n^{-1/7}[/tex] sia [tex]n^{-1/91}[/tex] tendono a zero allora:
[tex]\tan n^{-1/7} \sim n^{-1/7}, \quad \sin n^{-1/91} \sim n^{-1/91}[/tex]
e quindi:[tex]c_n \sim \frac{n^{-1/7}}{[n^{-1/91}]^{13}}[/tex]
ma con semplici passaggi si verifica che quest'ultima successione scritta coincide identicamente con la successione di tutti uno, e quindi il suo limite è uno, e quindi anche il limite della successione di partenza deve essere uno
Spero di essermi spiegato, anche se, data l'ora....
Si, ho visto l'ora tarda
Ti sei spiegato perfettamente, è perfetto. Ora faccio un po' di esercizi per verificare e fissare i concetti.
Grazie 1000 dell'aiuto
tardaTi sei spiegato perfettamente, è perfetto. Ora faccio un po' di esercizi per verificare e fissare i concetti.
Grazie 1000 dell'aiuto
Prego, buono studio
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