Serie: esercizio da esame...

[Krav982]

Ragazzi non riesco a determinare il carattere di questa serie:

$ sum_(n=1)^(+oo) (n^3-sqrt(n^6+n^4+1)) sin (1 / n^3) $

Ho provato a utilizzare il criterio della convergenza assoluta, e dopo il criterio del confronto asintotico, ma mi viene fuori una forma indeterminata...
Per favore mi fate vedere come si risolve questo esercizio???
VI RINGRAZIO ANTICIPATAMENTE

[Sk_Anonymous]

Prova a razionalizzare quella radice e poi ad applicare il criterio del confronto asintotico.

[Krav982]

L'ho fatto ma sicuramente sbaglio qualcosa:

$ sum_(n=1)^(+oo) (n^3- sqrt(n^6+n^4+1)) sin(1/n^3)$

$= sum_(n=1)^(+oo) (n^3- (n^6+n^4+1)/sqrt(n^6+n^4+1))sin(1/n^3) $

$ ~~sum_(n=1)^(+oo) (n^3- (n^6+n^4+1)/sqrt(n^6+n^4+1))(1/n^3) $

$ ~~sum_(n=1)^(+oo) (1- (n^3+n+(1/n^3))/sqrt(n^6+n^4+1)) $

$ ~~sum_(n=1)^(+oo) (1- n^3/n^3) = sum_(n=1)^(+oo) (1- 1) $

Che cosa sbaglio????

[gugo82]

Prova a razionalizzare tutto [tex]$n^3-\sqrt{n^6+n^4+1}$[/tex], moltiplicando e dividendo per [tex]$n^3+\sqrt{n^6+n^4+1}$[/tex].

[Sk_Anonymous]

"Krav982":L'ho fatto ma sicuramente sbaglio qualcosa:

$ sum_(n=1)^(+oo) (n^3- sqrt(n^6+n^4+1)) sin(1/n^3)$

$= sum_(n=1)^(+oo) (n^3- (n^6+n^4+1)/sqrt(n^6+n^4+1))sin(1/n^3) $

$ ~~sum_(n=1)^(+oo) (n^3- (n^6+n^4+1)/sqrt(n^6+n^4+1))(1/n^3) $

$ ~~sum_(n=1)^(+oo) (1- (n^3+n+(1/n^3))/sqrt(n^6+n^4+1)) $

$ ~~sum_(n=1)^(+oo) (1- n^3/n^3) = sum_(n=1)^(+oo) (1- 1) $

Che cosa sbaglio????

Sbagli a razionalizzare.

[Krav982]

Allora, faccio come dice giugo82, e credo di aver risolto... datemi conferma per favore:

$ sum_(n =1)^(+oo) (n^3-sqrt(n^6+n^4+1)) sin(1/n^3) $ razionalizzando diventa:

$ sum_(n =1)^(+oo) ((n^6-(n^6+n^4+1))/(n^3+sqrt(n^6+n^4+1)) ) sin(1/n^3) $ $= sum_(n =1)^(+oo) ((-n^4-1))/(n^3+sqrt(n^6+n^4+1)) ) sin(1/n^3) $

A questo punto applico il criterio della convergenza assoluta:

$ = |sum_(n =1)^(+oo) ((-n^4-1))/(n^3+sqrt(n^6+n^4+1)) sin(1/n^3) | =sum_(n =1)^(+oo) (| -n^4-1| )/(n^3+sqrt(n^6+n^4+1)) ) sin(1/n^3) $


ora sapendo che per $x->0$ $sin x ~~x$ ovvero $sin (1/n^3)~~1/n^3$ , applico il criterio del confronto asintotico:

$ sum_(n =1)^(+oo) (|-n^4-1|)/(n^3+sqrt(n^6+n^4+1)) ) sin(1/n^3) ~~ sum_(n =1)^(+oo) (n^4)/(n^3+n^3) (1/n^3)$

$ =1/2 sum_(n =1)^(+oo) 1/n^2 $ che converge.
Giusto????