Serie esercizi
è da un pò che ci sbatto ma non so come farli e credo siano "interessanti":
1) sia >$T^2$ un toro e sia $f\in C^{\infty}(T^2,RR)$. dimostrare che f ha almeno tre punti critici.
2)dimostrare che un gruppo di ordine maggiore di 2 possiede un automorfismo non identico.
3) data $f: RR^2-> RR^4$ definita come $f(x,y)=(2xy,x^2-y^2,x(x^2-y^2-1),y(x^2-y^2-1))$
calcolare il gruppo fondamentale di $f(D^2)$ dove $D^2={(x,y)\in RR^2\; x^2+y^2\leq 1}$
4) un sistema meccanico a due gradi di libertà ha energia potenziale
$V=1/2 (x-1)^2-(x+1/2)cos\theta$
e lagrangiana
$L=1/2(1+x^2)(\frac{d}{dt}\theta)^2+1/2(\frac{d}{dt}x)^2 -V$
scrivere le equazioni di lagrange.
1) sia >$T^2$ un toro e sia $f\in C^{\infty}(T^2,RR)$. dimostrare che f ha almeno tre punti critici.
2)dimostrare che un gruppo di ordine maggiore di 2 possiede un automorfismo non identico.
3) data $f: RR^2-> RR^4$ definita come $f(x,y)=(2xy,x^2-y^2,x(x^2-y^2-1),y(x^2-y^2-1))$
calcolare il gruppo fondamentale di $f(D^2)$ dove $D^2={(x,y)\in RR^2\; x^2+y^2\leq 1}$
4) un sistema meccanico a due gradi di libertà ha energia potenziale
$V=1/2 (x-1)^2-(x+1/2)cos\theta$
e lagrangiana
$L=1/2(1+x^2)(\frac{d}{dt}\theta)^2+1/2(\frac{d}{dt}x)^2 -V$
scrivere le equazioni di lagrange.
Risposte
ho pensato qualcosa per il terzo esercizio:
controllo se l'applicazione f è iniettiva
$f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$
$x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2 \Rightarrow x_1^2-y_1^2-1=x_2^2-y_2^2-1$ e se
$x_1^2-y_1^2-1=x_2^2-y_2^2-1!=0$ allora $x_1=x_2$ e $y_1=y_2$ (dalla terza e quarta componente)
se
$x_1^2-y_1^2-1=x_2^2-y_2^2-1=0$ allora $x_1=\pm1,x_2=\pm1$ e $y_1=y_2=0$
f è iniettiva in $D \\ {(\pm1,0)}=A$
affermo che f è un omeomorfismo tra A e f(A), è iniettiva, suriettiva e continua se è aperta sono a posto.
sia V aperto di A, devo mostrare che f(V) è aperto.
Prendo $y in f(V)$ devo mostrare che esiste un intorno aperto di y contenuto in f(V)
$EEx in V$ tale che $f(x)=y$
Siccome V è aperto esiste una palla B aperta centrata in x tale che $barB sub V$ (nel caso in cui x sta al bordo in realtà non c'è, ci sono solo "sfere tagliate" che sono aperte nella topologia di sottospazio di D, comunque dovrebbe funzionare)
$f:barB->f(barB)$ è un omeomorfismo (f continua da spazio compatto a spazio di hausdorff è omeomorfismo se e solo se è biiettiva)
in particolare $f(B)$ è aperto e $y in f(B)$ quindi f(V) è aperto.
Concludendo f è un omeomorfismo del disco in sè con l'eccezione di due punti che vengono identificati. Il gruppo fondamentale è $ZZ$.
Spero di aver colto nel segno!
controllo se l'applicazione f è iniettiva
$f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$
$x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2 \Rightarrow x_1^2-y_1^2-1=x_2^2-y_2^2-1$ e se
$x_1^2-y_1^2-1=x_2^2-y_2^2-1!=0$ allora $x_1=x_2$ e $y_1=y_2$ (dalla terza e quarta componente)
se
$x_1^2-y_1^2-1=x_2^2-y_2^2-1=0$ allora $x_1=\pm1,x_2=\pm1$ e $y_1=y_2=0$
f è iniettiva in $D \\ {(\pm1,0)}=A$
affermo che f è un omeomorfismo tra A e f(A), è iniettiva, suriettiva e continua se è aperta sono a posto.
sia V aperto di A, devo mostrare che f(V) è aperto.
Prendo $y in f(V)$ devo mostrare che esiste un intorno aperto di y contenuto in f(V)
$EEx in V$ tale che $f(x)=y$
Siccome V è aperto esiste una palla B aperta centrata in x tale che $barB sub V$ (nel caso in cui x sta al bordo in realtà non c'è, ci sono solo "sfere tagliate" che sono aperte nella topologia di sottospazio di D, comunque dovrebbe funzionare)
$f:barB->f(barB)$ è un omeomorfismo (f continua da spazio compatto a spazio di hausdorff è omeomorfismo se e solo se è biiettiva)
in particolare $f(B)$ è aperto e $y in f(B)$ quindi f(V) è aperto.
Concludendo f è un omeomorfismo del disco in sè con l'eccezione di due punti che vengono identificati. Il gruppo fondamentale è $ZZ$.
Spero di aver colto nel segno!
ho capito tutto ma come mai il gruppo fondamnetale è $ZZ$???
per quanto riguarda l ultimo esercizio il mkio dubbio è questo:
le equazioni di lagrange sono $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=\frac{\partial L}{\partial\theta}$ e poi stessa cosa per x. ora dopo aver derivato rispetto a $\dot\theta$ ottengo
$(1+x^2)\dot\theta$ ora quando derivo rispetto al tempo devo derivare pure quell $x^2$ oppure solo $\dot\theta$???
le equazioni di lagrange sono $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=\frac{\partial L}{\partial\theta}$ e poi stessa cosa per x. ora dopo aver derivato rispetto a $\dot\theta$ ottengo
$(1+x^2)\dot\theta$ ora quando derivo rispetto al tempo devo derivare pure quell $x^2$ oppure solo $\dot\theta$???
"miuemia":
ho capito tutto ma come mai il gruppo fondamnetale è $ZZ$???
quello l'ho fatto un po' ad occhio, se prendi un cerchio ed identifichi due punti al bordo viene una specie di "cannolo" e il gruppo è $ZZ$ (analogamente al cilindro)
"miuemia":
per quanto riguarda l ultimo esercizio il mkio dubbio è questo:
le equazioni di lagrange sono $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=\frac{\partial L}{\partial\theta}$ e poi stessa cosa per x. ora dopo aver derivato rispetto a $\dot\theta$ ottengo
$(1+x^2)\dot\theta$ ora quando derivo rispetto al tempo devo derivare pure quell $x^2$ oppure solo $\dot\theta$???
La $x$ è una variabile del tuo sistema e quindi in generale dipende dal tempo, pertanto devi derivarla per trovare le equazioni del moto.
"miuemia":
2)dimostrare che un gruppo di ordine maggiore di 2 possiede un automorfismo non identico.
Se il gruppo è abeliano l'applicazione $T(x) = x^{-1}$ è un automorfismo, infatti $T(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = x^{-1} y^{-1} = T(x) T(y)$, ed inoltre essendo di ordine maggiore di due esiste $x_0$ tale che $T(x_0) = x_0^{-1} != x_0$ e quindi $T != I$.
Se il gruppo non è abeliano invece si può usare l'automorfismo interno.
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